We consider a time evolution system of Including references Bosons with two-body interaction with higher singularity than Coulomb. We show that Including references-body Schrodinger equation in the mean-field regime evolutes towards the nonlinear Hartree dynamics with order of O(1/N), for each fixed time. We used a decay estimate of Hartree evolution to show this rate of convergence.
본 논문은 양자역학을 따르는 입자인 보존(Boson)입자에 관해 서술하고 있다. N개의 보존에서 상호간에 포텐셜의 크기가 쿨롱포텐셜과 비례할 때에 보스-아인슈타인 응축(BEC)상태가 일정시간동안 유지된다는 사실이 알려져 있다. 이 논문에서는 N개의 보존 사이에 상호 포텐셜의 크기가 쿨롱포텐셜보다 더 특이(singular)할 때에, BEC상태가 일정 시간동안 유지되며, 유지됨을 나타내는 수렴정도가 1/N이 됨을 보였다.
BEC상태는 모든 입자가 마치 한 개의 입자인 것처럼 행동하는 상태이다. 따라서 N개의 보존이 BEC상태를 유지한다는 것은, 시간이 흐르더라도 각 입자의 파동함수가 시간에 따라 바뀔지언정 상호간 비슷하게 유지된다는 것을 의미한다. 이를 밝히기 위해서 다음과 같은 논리를 사용한다. 초기에 BEC 상태에 있는 N개의 입자를 기술하는 파동함수가, N개의 다체입자를 기술하는 슈뢰딩거 방정식에 따라 행동한다고 하자. 스스로 포텐셜을 느끼는 한 개의 입자는 하트리 방정식을 따라 행동함이 알려져 있다. 한 개의 입자처럼 행동하는 BEC 상태가 유지됨을 보이기 위해 우리는 N개의 다체입자를 기술하는 슈뢰딩거 방정식에 의한 해와, 하트리 방정식의 해의 N대칭텐서곱간의 차이가 1/N에 비례해서 작다는 것을 보였다.
증명을 하기 위해 이전까지는 하디부등식에 의존하였으나, 포텐셜이 더 특이하기 때문에 이를 사용하지 못하고, 본 논문에서는 하트리 방정식의 해의 크기가 시간에 따라 점점 작아짐을 이용하였다.
