We expect that a projective hypersurface of smaller degree can contain more rational curves. Let X be an n-dimensional projective hypersurface of degree d. Assume that X is of Fano type, that is, $d\leq n+1$. If d=n, then X is covered by lines, whereas it seems hard to expect that X is covered by lines when d=n+1. However, if d=n+1, X is covered by conics. In this thesis, we study the existence problem of rational curves on a hypersurface including lines and conics. We also consider differential geometric property of quadric hypersurfaces.
사영 공간의 n차원 초곡면은 차수 d가 커질수록 유리 곡선을 가지기 어려워진다. $d\geq 2n+1$ 일 때 대부분의 초곡면이 유리 곡선을 가지지 않는 반면, $d\leq 2n-1$ 인 초곡면은 1차 유리 곡선을 가진다. 더욱이 $d\leq n+1$ 이면 초곡면을 유리 곡선으로 덮을 수 있는데, $d\leq n$ 이면 이것이 1차 유리 곡선으로 가능하고, d=n+1일 때에는 2차 유리 곡선으로 덮을 수 있다. 본 학위 논문의 2장에서는 이러한 사실들의 증명을 다룬다.
사영 공간의 한 점을 고정하자. 이 점을 지나는 1차 유리 곡선 중에서 초곡면에 놓인 1차 유리 곡선은 쉽게 표현할 수 있다. 2차 유리 곡선은 초곡면과 평면의 교집합에서 기약 성분으로 등장하므로, 주어진 초곡면이 어떤 평면과 교차했을 때 2차 유리 곡선을 갖는지 질문할 수 있다. 본 학위 논문의 3장에서는 이 질문의 관점에서 사영 다양체의 성질을 공부한다. 첫번째로 매끄러운 사영 다양체의 차수와 그 부피의 관계를 다루고, 다음으로 사영 초곡면의 차수가 2가 되기 위한 조건을 알아본다.
