In this dissertation, we study static and dynamic hedging of multi-asset options. We focus on a general multi-asset option hedging problem to consider various exotic options. In order to deal with the high-dimensional problem, we suggest efficient solution approaches to solve large-scale problems.
First, we compute static-arbitrage bounds on basket option prices. Especially, we focus on the lower bound case and propose a novel efficient solution procedure that is based on the separation problem. The computational burden of the proposed method is polynomial in the input data size. We also discuss the case of possibly negative weight vectors which can be applied to spread options. Additionally, we consider not only exact computation but also approximation of lower bounds when we have market prices of various options.
Next, we consider an hedging problem to minimize the uncertainty caused from multi-asset option trading. We suggest an affine control method to efficiently deal with the high-dimensional problem. First, we compute an optimal hedging strategy based on simulated paths. As the market state changes, the hedging plan is updated at every rebalancing time via online optimization. The hedging performance of the proposed approach is assessed in numerical tests and compared with those of other hedging strategies.
The theoretical and numerical results in this research will provide a better understanding of multi-asset options. Moreover, we expect the suggested approaches to be extended to more general cases.
다자산옵션은 여러 개의 기초자산들의 가격에 따라 그 수익이 달라지는 형태의 금융상품이다. 이러한 파생상품의 가격 결정과 헷지 전략은 다자산 옵션이 만기 시점에서 어떤 수익구조를 갖는지, 그리고 기초자산들이 어떤 움직임을 갖는지에 따라 달라진다. 시장에는 다양한 종류의 다자산옵션들이 거래되고 있고, 기초자산들의 가격 변동을 표현하기 위해 사용되는 모델들도 다양하다. 이 연구에서는 특정한 경우를 가정하기보다는 일반적인 다자산옵션의 헤징에 이용될 수 방법론의 연구에 목적을 두었다. 대표적인 다자산옵션인 바스켓 옵션과 레인보우 옵션에 대하여 헤징 방법을 제안하고 이를 실제로 적용해 보았다.
먼저 기초자산의 모델이나 상관관계에 대한 어떤 가정도 하지 않았을 때, 기초자산, 단일자산에 대한 콜 옵션의 시장 가격에서 얻는 정보만을 바탕으로 바스켓 옵션의 가격이 가질 수 있는 범위를 구한다. 이는 특정한 모델을 가정함으로써 발생할 수 있는 위험을 피할 수 있는 방법이다. 먼저 이 문제를 풀기 위해 선형계획법의 형태로 변형시킨다. 그리고 이 문제가 다항식 수준의 작업을 통해 풀 수 있음을 이론적으로 증명하였다. 그리고 이를 이용하여 본 문제를 좀 더 효율적으로 풀 수 있는 알고리즘을 제안하였다. 이를 통해 우리는 제한된 계산 자원 내에서 훨씬 더 많은 정보를 포함하여 문제를 풀 수 있었다. 해를 구하는 데 필요한 시간 단축뿐 아니라 더 좋은 하한을 얻어낼 수 있음을 실험을 통해 확인하였다.
바스켓 옵션 가격의 하한을 구하는 위의 방법론을 다른 더 일반적인 경우로 확장할 수 있었다. 바스켓 옵션의 가중치가 음의 값을 갖는 경우에도 적용될 수 있음을 이론적인 증명과 함께 소개하였고, 기초자산들 간의 상관관계를 유추할 수 있는 다른 정보들을 통해 좀 더 효과적인 문제 해결을 할 수 있었다. 그리고 시장에서 얻을 수 있는 방대한 정보를 고려한 문제를 풀기 위한 대체 방법론을 제안하였다.
3장에서는 일반적인 다자산 옵션을 거래함으로써 발생할 수 있는 불확실성에 대응하기 위한 동적 헤징 전략을 연구하였다. 여기서도 역시 다양한 경우에 적용될 수 있도록 시뮬레이션 기반 방법론을 제안한다. 다자산 옵션의 동적 헤징 문제는 그 자체로는 풀기 어려울 만큼 고차원의 최적화 문제이다. 이를 풀 수 있는 수준으로 복잡도를 낮추기 위해 헤징 포트폴리오 운용을 각 기초자산의 가격에 대한 선형 제어로 제한하고 그 계수를 구하는 과정을 거친다. 이렇게 수립되는 동정 헤징 전략을 각 시점에서 시장 변화에 맞추어 갱신해 나감으로써 보다 나은 헤징 결과를 기대할 수 있다.
앞에서 제안한 동적 헤징 방법론을 실제로 다양한 경우에 적용해 봄으로써 그 성능을 평가한다. 결과 비교를 위해 정적 헤징 전략과 다른 동적 헤징 전략들을 함께 수행하여 결과를 비교해 본다. 비슷한 수준의 가용 계산 자원을 가정하고 진행한 실험에서 우리가 제안한 방법은 우수한 결과를 산출하였다. 바스켓 옵션과 레인보우 옵션에 대하여 기초자산의 수, 헤징 전략의 갱신 주기, 행사 가격 등을 다양하게 고려하여 진행한 실험에서 모두 가장 좋은 결과를 보여 안정적인 성능을 보여주었다.
다자산 옵션은 여러 가지 요인에 따라 그 가격이 결정될 뿐 아니라 수익구조 또한 다양하기에 가격 결정과 헤징이 비교적 어려운 문제로 남아 있다. 우리는 연구를 통해 일반적인 다자산 옵션들에 대하여 적용해볼 수 있는 정적 및 동적 전략을 고려함으로써 다자산 옵션의 거래와 위험 관리에 대한 이해를 높일 수 있었다. 그리고 이 연구에서 사용된 방법론들이 다른 다양한 연구 결과들과 결합되어 여러 방향으로 확장이 될 수 있으리라고 기대한다.
