Controllability and observability is a structural property that carries information useful for design of control system such as selection of inputs and outputs which has decisive effect on the performance of controller and estimator. Although controllability and observability are useful information, these measures gives us only binary information of whether or not a dynamical system is completely controllable or observable, not the question of “how controllable or observable”. It is, therefore, useful to define a continuous measure rather than binary metric, i.e., degree of controllability (DOC) and degree of observability (DOO). DOC and DOO have been dealt with in many literatures and most widely used concepts are defined as minimum control input energies and maximum output energies.
However these measures have following problems. Firstly, these methods do not consider the case of using both sensors and actuator simultaneously. In other words, if the control input uses the states estimated by the outputs of the sensors, the control inputs can be affected not only by the system characteristics but also by the characteristics of outputs such as sensor position, types and output noises. Secondly, the existing measures only support stable systems. However, some systems, which are needed to be controlled, are not stable such as an inverted pendulum model.
In this paper, we proposed the measure named degree of compensatability (DOCom). DOCom is defined as the minimum control input energy to change the states, which is estimated from the outputs of the sensors, from an arbitrary initial condition to an arbitrary final condition. The main difference with the existing measures is that the proposed measure considers the dynamics of estimator, which means the DOCom measure contains both control and observation performance. The closed-form solution of DOCom measure can be separated into the controllability Gramian, disturbance sensitivity Gramian and Kalman filter performance matrix. The proposed DOCom measure, which has physical meaning of minimum control input energy, is not only affected by the actuators but also affected by the sensors. This result shows that the selection of inputs and outputs is not an independent problem.
The steady-state solution of the proposed DOCom measure for unstable systems is derived in this paper. Therefore, the measure can be obtained by solving some algebraic equations. Especially, sensor placement and output noises have independent effect on the DOCom measure for unstable systems, and we named this independent measure as degree of output noise sensitivity (DONS), which is represented by controllability and observability Gramians. The usefulness of the proposed DOCom measure is verified through the 3 numerical examples. LQG simulation results show that the systems with smaller value of DOCom measure are easier to compensate. The measure is applied to various problems through the examples such as the comparison of potential performance among the different systems, inputs and outputs selection, and redundancy selection under the fault situations.
가제어성(controllability) 및 가？측성(observability)은 제어기나 관측기의 성능에 큰 영향을 미치는 입출력 결정 문제와 같은 제어시스템 설계에 유용한 정보를 제공하는 시스템의 특성이다. 비록 가제어성과 가관측성이 이런 유용한 정보를 제공하지만, 이러한 지표들은 시스템이 얼마나 제어 혹은 관측이 가능한가에 대한 고려가 되어있지 않은 이분법적인 성질을 지니고 있다. 따라서 이분법적이지 않은 연속적인 특징을 가지는 지표들이 기존의 연구에서 제안되었고, 이들을 각각 가제어도(degree of controllability, DOC)와 가관측도(degree of observability, DOO)라 명명하였다. DOC와 DOO는 많은 문헌들에서 다루어져 왔으나, 최소제어입력에너지와 최대출력에너지로 정의된 지표가 가장 일반적으로 널리 사용되고 있다. 그러나 이러한 지표들은 다음과 같은 문제를 지니고 있다. 첫째로, 이 방법들은 센서와 구동기를 동시에 사용하는 경우에 대해서 고려가 되어있지 않다. 즉, 센서의 출력을 통해 상태를 추정하고 이를 이용하는 제어를 하는 경우, 제어 입력은 센서의 위치, 형태 그리고 출력잡음과 같은 출력의 특징들의 영향을 받게 된다. 둘째로, 기존의 지표들은 안정한 시스템에만 적용이 가능하다는 문제가 있다. 따라서 도립 진자와 같은 불안정한 시스템에는 적용이 불가능하다.
본 논문에서는 새로운 지표인 보상성능(DOCom)지표를 제안한다. DOCom지표는 센서의 출력으로부터 추정된 상태를 임의의 초기 상태에서 임의의 최종상태로 옮기는데 필요한 최소제어입력에너지로 정의된다. 기존의 지표들과 비교했을 때 가장 큰 차이점은 관측기의 동특성을 고려한다는 점으로, 이는 제안된 지표가 제어성능과 관측성능을 동시에 고려한다는 의미이다. 제안된 지표는 가제어성 그래미언, 외란민감도 그래미언, 그리고 Kalman 필터의 성능 행렬로 표현되는 폐쇄형 해를 가진다. 최소제어입력에너지라는 물리적 의미를 가지는 DOCom지표는 구동기뿐만 아니라 센서에도 영향을 받으므로, 입출력의 결정문제는 독립적인 문제가 아니라는 것을 나타낸다.
본 논문에서는 불안정한 시스템에 대한 제안된 지표의 정상상태 해를 유도하였다. 따라서 제안된 지표는 몇몇의 대수방정식을 통해서 구해질 수 있고, 특히 불안정한 시스템의 경우에는 센서 배치와 출력잡음이 DOCom지표에 독립적인 영향을 미친다는 것을 확인하였다. 본 논문에서는 이 독립적인 지표를 출력잡음민감도(DONS)지표라 명명하였고, 이는 가제어성 및 가관측성 그래미언(Gramian)으로 표현된다. 제안된 DOCom지표의 유용성을 검증하기 위해 3개의 수치예제를 검토하였다. LQG 모의실험을 통해 제안된 DOCom의 값이 작을수록 더 작은 입력에너지로 시스템을 제어할 수 있다는 것을 확인하였다. 제안된 지표를 서로 다른 시스템간의 성능 비교, 입출력 결정문제, 그리고 결함상황에서의 중첩도 결정 등 다양한 예제들에 대해서도 적용하여 유용성을 검증하였다.
