Elliptic curves have long rich history and also wide range of applications. For example, these are used in the factorization of large integers, the primality testing, public key cryptography, and most famously the proof of Fermat's Last Theorem. The first chapter provides the short history of elliptic curves.
In 1949, Andre Weil made a series of very general conjectures concerning the number of points on varieties defined over finite fields. To prove Weil conjectures for the cases of projective lines and projective spaces are immediate. The first non-trivial cases of the Weil conjectures are elliptic curves. In this paper, I will introduce some basic concepts of elliptic curves and the proof of Weil conjectures for elliptic curves.
1949년에 Andre Weil는 유한체 위에서 정의된 variety상의 점들에 대한 추측들을 발표했다. 이 추측은 Weil, Dwork, M.Artin, Grothendieck, 그리고 Deligne에 의해서 최종적으로 증명이 되었다. Projective line에 대해서는 Weil의 추측은 매우 당연하다. 이 추측의 첫 번째 자명하지 않은 경우는 바로 타원곡선이다.
타원곡선은 긴 역사와 함께 다양한 수학분야에 활용이 되고 있다. 큰 수의 소인수분해와 소수판별, 암호이론, 그리고 유명한 페르마의 마지막 정리의 증명 등에 활용이 된다. 첫 번째 장에서는 타원곡선이라는 용어가 어떻게 정의되었는지 역사적 흐름 속에서 살펴볼 것이다. 이어서 복소수 위에서 정의된 타원곡선을 일반적인 체 위로 확장하기 위한 대수적 정의를 살펴볼 것이다. 두 번째 장에서는 대수적으로 정의된 타원곡선에 적용할 수 있는 여러 가지 대수적인 개념과 성질들을 알아본다. 최종적으로 이러한 대수적 도구를 이용해서 타원곡선에 대한 Weil 추측의 증명을 소개하는 것이 이 논문의 목표이다.
