In the present research, the shape and topology optimization of shell structures using isogeometric analysis (IGA) is proposed. In order to handle topologically complex shells in the structural analysis and optimization, the basic concept of trimmed surface analysis (TSA) for two-dimensional problems is adopted and appropriately extended to shell problems. TSA is the IGA in which the trimming technique is introduced. TSA can effectively handle the complicated topology of a shell without introducing multiple untrimmed NURBS shell patches. For the shell formulation, the degenerated shell based on Reissner-Mindlin theory is employed. Unlike the conventional FEM, the surface direction vectors can be computed directly and exactly at any point in IGA due to the high-degree smoothness of NURBS. With this feature, the conventional shell formulation used in isogeometric shell analysis is modified with these exact direction vectors and their derivatives. The shell formulation is validated with linear elastic benchmark problems.
In isogeometric shape optimization of topologically complex shell structures, the coordinates of the surface control points and the trimming curve control points are set as design variables in order to permit the variation of the outer and inner boundaries during the optimization process. The shape sensitivities with respect to the two types of design variables are formulated. The sensitivity formulations are properly modified with the exact direction vectors and their derivatives. By comparing with FDM results, the accuracy of the shape sensitivity formulations is validated. The method of moving asymptotes (MMA) is applied as the optimization algorithm. Several numerical examples of shape optimization of topologically complex shells are treated, and it is shown that the shape optimization is successfully carried out by the proposed method.
The isogeometric topology optimization of shell structures is also performed. The complex topologies which frequently appear during the topology optimization are efficiently dealt with by using TSA. The topology of the domain is varied with holes which are described by NURBS trimming curves. The position of a new hole is selected by introducing the selection criteria, which decides the topology changes mathematically in the current domain. In the calculation of the selection criteria for hole creation, the topology sensitivity is applied. The topology sensitivities in the domain are calculated and the accuracy is validated with FDM results. Once the topology of the current domain is set, the shape of the current domain is optimized. At every iteration, the updated trimming curves are adaptively treated to maintain smooth boundary representation and robust convergence. The treatments of trimming curves prevent irregular boundary shapes and unnecessarily complex topologies. With numerical examples, it is shown that the proposed method gives appropriate and acceptable shell structure designs. The inner or outer boundaries which are described by trimming curves represent smooth material layouts without gray scales or checkerboard patterns that are frequently encountered in cell-based methods. Thus an additional post-processing or a filtering for boundary smoothening is not required. Since the same IGES standards are used throughout the process, the final design derived by the present method can be directly imported to CAD systems without any additional treatments.
본 연구에서는 등기하해석 (Isogeometric analysis) 을 이용한 쉘 (Shell) 구조물의 형상 및 위상 최적화 기법을 제안하였다. 복잡한 위상을 가지는 쉘 구조물의 해석 및 최적화를 위해 2차원 트림곡면해석기법 (Trimmed surface analysis) 의 기본 개념을 쉘 구조물에 알맞게 확장 적용하였다. 트림곡면해석기법은 트리밍기법 (Trimming techniques) 이 적용된 등기하해석으로 복잡한 위상의 쉘 구조물을 여러 개의 조각 (Patch) 으로 나누지 않고 효과적으로 해석할 수 있다. 본 연구에서는 Reissner-Mindlin 쉘 이론을 바탕으로 한 감절점 (Degenerated) 쉘 요소를 사용하였다. 기존 유한요소법 (Finite element method) 에서와는 달리, 등기하해석을 사용할 경우 NURBS (Non-uniform rational B-spline) 의 높은 연속성을 이용하여 임의의 점에서 곡면 방향벡터 (Surface direction vector) 를 직접적으로 정확하게 구할 수 있다. 따라서 본 연구에서는 기존의 등기하해석에서 사용되던 쉘 수식화를 정확한 방향벡터와 그 미분벡터를 도입하여 개선하였다. 선형탄성 예제를 통해 제안된 쉘 수식화를 검증하였다.
등기하해석을 이용한 복잡한 위상을 가지는 쉘 구조물의 형상최적설계에서는 쉘의 내부 및 외부 경계를 자유롭게 변화 가능하도록 곡면 제어점 좌표와 트리밍 (Trimming) 곡선 제어점 좌표를 설계변수로 하였다. 정확한 방향벡터 및 그 미분벡터를 도입하여 설계변수에 대한 형상민감도 수식화를 개선하였으며, 그 정확성을 검증하였다. MMA (Method of moving asymptotes) 를 최적화 알고리즘으로 사용하여 복잡한 위상을 가지는 쉘 구조물의 형상최적설계문제를 다루었으며, 제안한 방법을 통해 성공적인 최적화 결과를 도출할 수 있었다.
본 연구에서는 등기하해석을 이용한 쉘 구조물의 위상최적화에 대한 연구도 수행되었다. 위상최적화 과정에서 빈번하게 나타나는 복잡한 위상의 영역은 트림곡면해석기법을 이용하여 효율적으로 해석하였다. 트리밍 곡선을 이용하여 설계영역의 위상을 표현하며 내부 홀 (Hole) 의 생성여부 및 생성위치는 균일한 수학적 판단기준인 선택지수 (Selection criteria) 를 도입하여 정해지도록 하였다. 홀 생성에 대한 선택지수의 계산과정에서 위상민감도 (Topology sensitivity) 가 사용되었으며 사용된 위상민감도 수식화를 검증하였다. 영역의 위상이 결정 된 이후, 영역의 형상 최적화를 수행하여 내부와 외부경계의 최적형상을 도출하였다. 매 축차에서 갱신된 경계의 형상은 부드러운 경계표현과 강건한 수렴을 위해 적응적으로 처리되었다. 예제를 통해 본 연구에서 제안한 방법을 이용하여 적절하고 수용 가능한 쉘 구조물의 위상을 도출할 수 있음을 확인하였다. 기존의 요소기반 (Cell-based) 위상최적화 방법에서 나타나는 gray scales 또는 checkerboard patterns 없이 트리밍 곡선을 통해 부드럽고 명확하게 재료 레이아웃 (Layout) 을 나타낼 수 있는 것으로 확인되었다. 따라서, 후처리 (Post-processing) 또는 필터링 (Filtering) 을 추가적으로 필요로 하지 않는다. 전체 최적화 과정에서 CAD (Computer-aided design) 에서 사용되는 동일한 IGES 포맷이 사용되었기 때문에 최적화 결과는 별도의 처리 없이 CAD 프로그램에 바로 삽입 가능한 장점이 있다.
