Two dimensional induced quantum gravity on a torus is analyzed. By introducing the non-analytic Green's function, we evaluate the correlation functions of the metric from the Ward identity and show that the two dimensional quantum gravity on torus is still related to SL(2, R) current algebra. We cast the supersymmetric extension to Polyakov's work and find that the central charge of current algebra related to the (2, 0) supergravity is real for any space time dimension d. This fact is originated from the vanishing of dimensionality" (number of boson minus number of fermion generators) of OSP(2|2) algebra."
이차원 양자중력 이론은 임계차원 이하의 끈 이론을 이해하는 데 있어서 피할 수 없는 문제인데, 폴리야코프가 $S^2$ 위에서 질량없는 물질장으로부터 유도된 양자중력 이론을 광추게이지를 써서 전개하고, 워드 동일식으로부터 계량텐서의 상관함수들을 계산 했으며, 이로부터 이 이론이 SL(2,R) 흐름대수와 연결됨을 보였다.
끈 이론을 제대로 이해하기 위해서는 $S^2$와는 다른 위상구조에서 이 이론을 이해하는 것과 초대칭성을 갖는 초중력 이론의 이해가 필요하다.
본 논문에서는 토러스 위에서 계량텐서의 상관함수들을 명료하게 표현했고, 예상할 수 있었듯이 SL(2,R) 흐름대수와의 연결성이 주어졌으며 그것이 국부적임이 나타났다. 또 초대칭적 확장에서는 (2,0)초대칭성을 갖는 이차원 초중력 이론에서, '끈이 되는 율'과 같은 통계적 임계지수들이 모든 시공간 차원에서 실수로 주어짐을 알 수 있고, 따라서 (2,0)초중력 이론은 이차원 양자중력 이론이 갖고 있는 병리현상인 '강한 중력 부위'를 완전히 치유한다.
