This dissertation is composed of three parts: (i) recovery of missing samples from multi-channel sampling in shift-invariant spaces, (ii) generalized consistent sampling in abstract Hilbert spaces, and (iii) optimized superoscillations.
The first part concerns the recovery of missing samples from a multi-channel sampling of signals in shift-invariant subspaces of $L^2(\mathbb{R})$. Under certain conditions, any signal in the shift-invariant space can be perfectly reconstructed from its samples. In the case of oversampling, the samples have some redundancy that enables us to recover some of the missing values among the samples. We find necessary and sufficient conditions for the recovery of finite or infinite missing samples that occur from one or two channels. This extends the prior works on the same problem, most of which are for bandlimited or bandpass signals and concern only the case of finitely many missing samples.
As an abstract formulation of sampling in a Hilbert space $\mathcal{H}$, samples are taken as the inner products of an input signal with a set of vectors called the \emph{sampling vectors}. The goal of consistent sampling is to find an approximation of the input signal in a subspace generated by a prescribed set of vectors called the \emph{reconstruction vectors}, in such a way that the samples produced by the approximation coincide with those of the original signal, which we refer to as the \emph{consistency}. We study the consistent sampling in $\mathcal{H}$ based on the notions of direct sum and oblique projection, and also in terms of the synthesis and analysis operators associated with the sampling and reconstruction vectors. More generally, we also consider partial consistency and quasi-consistency and give complete characterizations for both of them. We also present an iterative algorithm for (quasi-) consistent approximations, which is suitable for practical usage.
Locally, a bandlimited signal can oscillate at a rate arbitrarily faster than its maximum frequency. This counter-intuitive phenomenon, known as \emph{superoscillation}, always involves extremely large amplitude outside the superoscillatory region and therefore entails high energy cost. For this reason, the minimum-energy superoscillating signals are considered to be the most attractive way of constructing superoscillations. However, the minimum-energy method depends heavily on cancellation and require solving equations that are highly ill-conditioned. We address an optimization problem that leads to a new method of constructing superoscillations. This method has much more desirable numerical properties than the minimum-energy method, yet generates superoscillations with energies close to the minimum.
본 학위 논문은 샘플링 이론과 응용에 대한 세 가지 주제로 구성되어 있다.
먼저 이동불변공간의 다중채널 샘플링에서 손실된 샘플을 복원하는 문제를 다루었다. 특정 조건 하에서 이동불변공간의 신호는 다중채널 샘플을 이용하여 완벽히 표현할 수 있는데, 만약 오버 샘플링을 할 경우 이 샘플들 간의 상호 연관성이 생기기 때문에 사라진 샘플을 복원할 수 있다. 다중채널 오버 샘플링에서 유한 개 또는 무한 개의 샘플을 손실한 경우에 이것을 복원하기 위한 조건들을 찾았다. 이 연구는 대역 제한 또는 대역 통과 신호들에 대하여 유한 개의 샘플 복원만 다루었던 기존 연구 결과들을 확장한 것이다.
두 번째 주제는 추상적 힐버트 공간에서의 일반적인 일관 샘플링이다. 샘플은 입력 신호와 샘플링 벡터의 내적으로 표현되는데 이것을 이용하여 정해진 부분공간 안에서 입력 신호의 근사해, 특히 일관성을 만족하는 근사해를 찾는다. 여기서 일관성이란 근사해로부터 다시 얻은 샘플이 기존 샘플과 정확히 일치하는 것을 의미한다. 추상적 힐버트 공간에서의 일관 샘플링을 직합, 사투영 등의 개념을 이용하여 해석하고 합성 작용소와 해석 작용소를 통해 분석하였다. 또한 일관성 조건을 일반화한 부분일관성과 준일관성에 대해 고찰하였고 이것을 실제로 응용하기 위한 반복적 알고리즘을 찾았다.
마지막으로 대역 제한 신호의 초과진동 현상을 다루었다. 대역 제한 신호는 가장 높은 주파수보다 임의로 빠르게 유한 구간 안에서 진동 가능하다. 직관에 위배되는 이 현상을 초과진동이라고 부른다. 초과진동 신호는 일반적으로 진동 구간 바깥에서 매우 큰 진폭을 가지므로 최소 에너지 조건을 이용하여 초과진동을 구현하는 것이 효과적일 수 있다. 하지만 이 방법은 불량 조건 선형계에 의존하기 때문에 이 방법으로 구현한 초과진동 신호는 극한의 소거를 통해 나타난다. 초과진동에 관한 새로운 최적화 문제를 제시하였고 이를 통하여 더 효율적인 초과진동 신호 구현법을 찾았다. 이 새로운 초과진동 신호 구현법은 최소 에너지 방법보다 월등히 좋은 수치적 성질을 지니면서 최소 에너지에 근접한 초과진동 신호를 구현한다.
