Burgers' Turbulence Model
Characteristics of the Karhunen-Loeve expansion of a strongly inhomogeneous random field possessing small viscous length scale in the near wall region and a large outer scale in the interior region have been investigated in relation to the application of the expansion to turbulent flow fields. Monte Carlo simulations of a randomly forced Burgers' equation with zero velocity boundary conditions generate the random process numerically. The statistical moments of its field on the full domain and in the wall layer are investigated for various Reynolds numbers. The correlation of instantaneous velocity and the covariance of fluctuation velocity are computed to analyze the coherent structure of the entire flow field. The Karhunen-Loeve eigenfunctions and the eigenvalue spectra are computed for three Reynolds numbers, Re=413.5, 1654, and 6616. The eigenfunctions possess thin viscous boundary layers at the wall, and they are independent of the Reynolds number in the core region where the random process is quasihomogeneous. The eigenfunctions and eigenvalues of the Karhunen-Loeve expansion are known to exhibit similarity outside of the viscous wall layers in the sense of Reynolds number independence. It is known that the Karhunen-Loeve expansion of a wall layer of suitable thickness has low-order eigenvalues and eigenfunctions that are also independent of the Reynolds number when expressed in terms of appropriate wall variable. This leads to a generalized law of the wall in which the basis functions of the Karhunen-Loeve expansion and the eigenvalue spectrum are universal, in the sense of asymptotic independence of Reynolds number. Eigenvalue spectra contain much of energy in the first few modes, but they are as broad as ordinary trigonometric power spectra. The rate at which the expansion converges to within 90% of the total energy decreases with increasing Reynolds number and the expansion of the mean plus the fluctuation convergences more rapidly than the expansion of the fluctuation alone.
The convergence of the representation for energy dissipation is compared with the number of terms and the Reynolds number in the derivative field of fluctutation velocity. Also, the distribution of mean square value of fluctuation velocity gradient and the turbulent mixing length in the wall region are investigated in detail.
Goodness of convergence of the Karhunen-Loeve expansion and the Fourier expansion for representing inhomogeneous instantaneous turbulent flow field is compared in relation to the Reynolds number and the number of terms. The coefficients of the expansion are determined by a Galerkin solution scheme. The results show obvious superiority of the Karhunen-Loeve expansion, especially, for high Reynolds number flows.
Reynolds Stress Model
A curvature-dependent Reynolds stress model (CRSM) is proposed for prediction of complex turbulent flows over curved surfaces. A curvature time scale for the third-order diffusive transport terms in the Reynolds stress equations is assumed, which is derived from the analogy between the buoyancy and streamline curvature effects on turbulence. The model coefficient of the destruction term in the dissipation equation is also modified by the proposed time scale in order to incorporate the streamline curvature effect on the decay rate of turbulent kinetic energy.
The proposed CRSM is applied to mildly curved axisymmetric bodies such as an afterbody without flow separation and a spheroid with small separation bubble at the tail. The governing equations are discretized in the numerically generated body-fitted grids using the finite analytic method. The results show that the present CRSM performs better than the well-established k-ε turbulence model. In particular, all the predicted Reynolds stress components are in very good agreements with the experimental data.
랜덤력을 갖는 Burgers 방정식은 벽경계조건 및 초기치를 이용하여 수치적으로 풀면 1차원 비등질성 난류유동장을 얻을 수 있다. 이와 같은 유동장은 벽 경계층 영역과 비점성 유동 영역(내부영역)으로 구별되며 두 영역사이에서 에너지와 운동량을 전달하는 진행 충격파가 존재한다. 이와같은 충격파의 두께는 $Re^{-1}$ 정도이며 경계치, 초기치, 그리고 랜덤력에 따라서 여러가지 형태가 있다. Burgers 난류유동장의 모델은 대기상태에 존재하는 3차원 난류유동현상과 거의 비슷한 거동을 나타내며 비행체의 실험용 난류모델로서 이상적인 유동모델이다.
Burgers 난류유동장에서 얻은 데이타 (속도 상관관계, 변동속도 상관관계, 미분속도 상관관계 등)을 이용하여 난류구조(coherent structure) 를 해석하기 위하여 Lumley 가 제시한 특성에디 분해법(characteristic eddy decomposition) 을 이용하였다. 일반적인 Fourier 전개는 직교성을 만족하는 어떤 임의의 직교함수로 전개할 수 있으며, 특히 비등질성 난류유동장은 가장 잘 나타내는 Karhunen-Loeve (K-L)전개는 적분평균 제곱에러 (integrated mean square error)를 최소화 할때 일반적인 Fourier 전개를 의미한다. K-L 전개의 기본함수는 고유치 문제로서 귀착되는 제 2종의 Fredholm 적분방정식을 풀어서 구하였으며 여기서 Kernel은 위에서 얻은 데이타를 이용하였다.
Burgers 난류유동장의 구조를 해석한 결과 내부영역에서는 sinusoids 의 중첩으로 이루어져 있고 Reynods 유사성(similarity) 이 존재함을 알 수 있다. 이때 고유치의 스펙트럼은 처음 몇 개의 모드에서 많은 에너지를 포함하고 있으며 보통 삼각형 power spectrum 의 형태로 구성되어 있다. 이것은 large eddy simulation에 의한 해석으로서 에너지 생성과 관련된다.
랜덤장에서 전체유동장의 90%에 도달하는 K-L 전개의 수렴률은 Re= 413.5 일때 4 개, Re=6616일 때 9 개 항이 필요하다. 또한 Reynolds 수가 증가할수록 K-L 전개의 수렴률은 감소하고 더 많은 전개항 수를 필요로 한다. 순간속도장을 표현하는 K-L 전개는 변동속도장을 표현하는 K-L 전개보다 더 빨리 수렴한다는 것을 energy level 가지고 비교하였다.
고유치의 spectrum 은 Reynolds 수가 증가할수록 그 폭도 또한 증가함을 나타냈다. 그러나 저 sequency (주파수)영역에서 Reynolds수에 무관하며 3차원 유동현상에서 나타나는 거동과 유사한 spectrum 을 얻었다. 이것은 비행체의 실험용으로 쓰이는 난류모델과 동일한 스펙트럼이다. Burgers 난류유동장의 내부영역에서 등질성은 고유함수의 sinusoids 형태로 나타나며, 벽 근체에서 비등질성이 크게 나타난다.
난류 운동에너지의 생성과 소산에 관한 메카니즘을 규명하고 소산율에 관한 여러가지 정보를 얻기 위하여 K-L 전개를 변동속도미분장에 적용하였다. 이것은 small scale 난류구조와 관련이 있으며 주로 벽근체에서 소산이 일어난다. 이때 에너지 소산율를 나타내는 spectrum 은 eddy size가 작은 영역에서는 Reynolds 수에 영향을 받으며, eddy size 가 큰 영역에서는 Reynolds 수에 무관함을 보여주었다. 또한 에너지 소산율을 표현하는데 필요한 K-L 전개의 수렴성은 속도장을 표현하는 K-L 전개의 항 수보다 수십배 더 많은 항이 필요하다는 것을 발견하였다. 즉 Re = 1654 일때 10배 Re = 6616 일때 30 배가 됨을 보여 주었다. 에너지 소산률 분포는 Reynolds수가 증가할수록 증가한다. 또한 벽 근처에서 난류혼합 길이는 Reynolds 수가 증가할수록 그 길이는 짧게된다.
K-L 전개는 비등질성 난류유동장을 평균자승하는 의미에서 가장 잘 나타내는 전개라고 할 수 있다. 이때 고유함수는 난류유동장에서 특성 에디를 나타내고 고유치는 그 에디가 포함하고 있는 적분 운동에너지량을 의미한다.
Burgers 난류유동장에서 난류구조해석, Reynolds 수의 영향, 전개의 수렴도, 그리고 난류 길이의 척도등의 정보를 얻기위해서는 많은 노력이 필요함을 알 수 있다. 이와같은 난류유동장을 K-L 전개로 표현 할 때에 그 우월성을 증명하고 또한 Fourier 전개로 나타낼 때에 전개항의 유한함으로 인한 Gibbs 현상을 알아보기 위하여 Fourier 전개로 그 유동장을 나타낸다. 이때 그 전개의 계수들은 Galerkin 근사해로 구하였다. 그 결과 항 수가 적을 때에 특히 Reynolds 수가 클 때에 K-L 전개의 우월성이 증명되었다.
곡률수정 Reynolds 응력모형
본 연구에서는 복잡한 난류유동장을 예측하기 위하여 새로운 곡률수정 Reynolds 응력모형 방정식을 제안하였다. Reynolds응력 방정식에 있는 3차 확산항은 곡률시간율의 함수로 가정하여 난류유동장에서 부력과 유선곡률 사이의 유사성으로부터 유도하였다. 에너지 소산 방정식에 있는 소산항의 모형계수는 난류 운동에너지의 감소율에 관한 유선곡률의 영향을 고려하기 위하여 곡률시간율에 의하여 수정하였다.
본 연구에서 제안한 CRSM은 박리유동이 없는 동체와 물체 후미에서 작은 박리기포가 발생하는 회전타원체와 같은 완만한 표면곡률을 갖는 축 대칭 물체주위의 난류유동장에 적용하였다. 경계고정좌표계에서 지배방정식은 유한해석법을 이용하여 차분화 하였다. 계산한 결과는 k-ε 난류모형을 이용하여 예측한 것보다 더 잘 맞는데, 특히, 평균속도와 난류 운동에너지의 분포는 실험치와 상당히 잘 일치한다.
