In this dissertation, a method of analyzing optimal control systems with time-varying elements via series expansion has been proposed. Up to the present, many attempts has been made to obtain an analytic form of optimal control input for linear time-varying systems via series expansion approach. However, there remain still two significant problems. The first is an requirement of the inverse of a matrix with large dimension such as nm×nm, where n is the dimension of system and m is the number of basis functions employed. The second is the abscene of an explicit or closed form, which is desirable form in calculation, for unknown solution vector to be found.
Therefore, as the first problem, this thesis presents a method of finding explicit form formulas, which do not include the inverse of a matrix with large dimension, for unknown solution vector of several classes of time-varying dynamic systems such as linear time-varying systems, bilinear time-varying systems, time-varying scaled systems. Then, as a result of finding an analytic form for state transition matrix via series expansion approach, we find an analytic form of optimal control input form linear time-varying system, which includes the inverse of a matrix each of whose entries is a linear combination of basis functions employed. Here it is obvious that the inverse of such a matrix should be available desirably in an analytic form in order to use the feedback gains. It is pointed out that as the dimension n of the system and/or the number m of basis functions employed increases, hand calculation of the inverse of such a matrix is very tedious, and becomes almost impossible for the case when n and m are large. However, no indication was given concerning how to find the inverse of such a matrix.
As the second problem, this thesis shows an effective method of obtaining an analytic form for the inverse of a matrix whose elements are linear combinations of basis functions adopted. By using the special property of each basis functions used, it is shown that the inverse of a matrix each of whose entries is a linear combination of basis functions can be obtained, by solving a set of simultaneous linear algebraic equations.
The results presented in this thesis will be very useful not only in solving the optimal control problem of time-varying systems via series expansion but also in other areas using series expansion.
본 논문에서는 급수 전개 방법에 의해 시변요소를 갖는 최적 제어 시스템을 해석하는 방법을 제안한다. 현재까지 급수 전개 방법에 의해 선형 시변 시스템에 대한 해석적 형태의 최적 제어 입력을 구하는 결과가 많이 발표되었지만, 아직 두 가지의 중요한 문제가 남아있다. 첫 번째 문제는 n를 다루고자하는 시스템의 차원이라 하고 m을 급수 전개 방법에 사용되는 기조 함수의 갯수라 하면, nm × nm의 차원을 갖는 행렬의 역을 구해야 하는 문제이며, 두 번째 문제는 구하고자 하는 벡타가 주어진 양들에 관해 닫혀진 형태로 구해지지 않는 것이다.
그러므로 본 논문에서는 첫 번째 문제로서 선형 시변 시스템, 양선형 시변 시스템, 시변 신장된 시스템 등 몇 가지 종류의 시변 동적 시스템의 해 벡타를 행렬 역이 포함되지 않으면서 주어진 양들에 대해 닫혀진 형태로 구할 수 있는 방법을 제시한다. 그러면 상태변이 행렬에 대한 해석적 형태를 구할 수 있고, 따라서 선형 시변 시스템에 대한 해석적 형태의 최적 제어 입력을 구할 수 있다. 그런데 이 최적 제어 입력은 각항들이 사용된 기조 함수의 선형 결합으로 표현되는 행렬의 역을 포함한다. 그러므로 최적 제어 입력을 효과적으로 사용하기 위해서는 그러한 종류의 행렬의 역에 대한 해석적 형태를 구하는 것이 필요한데, 시스템 차원이나 기조 함수의 갯수가 증가하면 직접 그러한 행렬의 역을 구하는 것은 매우 지루한 일이며, 또한 시스템 차원이나 기조 함수의 갯수가 매우 커지면 직접 역을 계산하는 것은 거의 불가능하다.
그러므로 본 논문에서는 두 번째 문제로서 각 항들이 기조 함수의 선형 결합으로 표현되는 행렬의 역에 대한 해석적 형태를 구하는 효과적인 방법을 제안한다. 사용되는 각 기조 함수의 특별한 성질을 이용하여 그러한 종류의 행렬에 대한 역이 선형 대수 방정식의 해로서 구해짐을 보인다.
이 결과들은 급수 전개 방법에 의해 시변 시스템의 최적 제어 문제를 해결하는데 매우 유용할 뿐 만 아니라 급수 전개 방법을 사용하는 다른 문제에도 효과적으로 쓰일 수 있을 것이다.
