We treat two types of Riemann boundary value problem, circular and line branch cuts, in a complex plane with the operator formulation of free fermion fields in order to see more precise meaning of the universal Grassmann mainfold method. Thus the GL(∞) group transform on the fermion Fock space is directly parameterized by the Cauchy index and the boundary condition in the circular case, and by infinite singular structure in the line branch cuts. Also we apply these to $Z_N$-symmetric conformal system. We obtain $Z_N$-symmetric conformal algebra from the KdV-type equation by Miura transform.
최근 초현이론은 UGM (universal Grassmann manifold) 방법을 사용한 다중고리 (multi-loop)에서의 연산자 정식화에 중점을 두고 있다. 이 UGM은 리이만 문제를 자유 페르미장을 해결하며 도입되었으나 자유 페르미장과 연산자 정식화 사이엔 명확한 연계가 없었다.
이에 이 논문에서는 원형과 선형 경계에 대한 리이만 문제를 페르미온장으로 명확하게 풀면서 연산자와의 관계를 규명하고자 한다.
그 결과로 페르미온 포크 (Fock) 공간이 이루는 GL(∞)군의 변환 매개변수가 원형인 경우에 코오시 지수 (Cauchy index)와 경계치에 의해 결정되고, 선형인 경우에는 무한대 Singularity의 구조에 의해 결정됨을 보였다.
또한 그 응용으로 $Z_N$상사대칭이 있는 계의 경우에 Miura 변환에 의해 KdV형 방정식에서 $Z_N$대칭 상사대수를 얻었다.
