This paper concerns the limiting distribution of the largest eigenvalue of the critical case of the Wigner random matrix with heavy-tailed distribution. Early researches found that, when the distribution of the entries decays too slowly, the distribution of the largest eigenvalue exhibits Poisson statistics rather than converges to Tracy-Widom distribution. We study the limiting distribution of the largest eigenvalue for the critical case, where the absolute value of the entries decays as 1/x^4, and prove that it is the Tracy-Widom distribution when we have a suffcient bound for the largest entry of the matrix
핵 물리학자인 유진 위그너에 의해 처음으로 고안된 랜덤 행렬 이론은 수학 및 과학, 공학의 다양한 분야에서 응용되고 있다. 랜덤 행렬 이론의 가장 중요한 성질로는 두 가지의 보편성(universality)이 있는데, bulk universality는 고유값의 스펙트럼 내부에 있는 고유값들에 대한 성질로, 위그너 랜덤 행렬의 고유값들의 결합분포함수가 sine kernel의 행렬식 형태로 나타난다는 것이다. 반면, 위그너 랜덤 행렬의 최대 고유값은 행렬의 크기가 무한히 커짐에 따라 Tracy-Widom 분포라고 하는 특정한 분포를 보이게 되는데, 이 성질을 edge universality라고 한다. 만일 랜덤 행렬의 성분들이가 heavy-tailed 분포를 갖게 되면, 즉 성분들의 분포가 매우 느린 속도로 감소하는 경향을 보일 때에 최대 고유값의 분포가 더 이상 Tracy-Widom 분포로 수렴하지 않는 경우가 발생하게 된다. 본 학위 논문에서는 임계 상황, 즉 행렬 성분들의 분포 1/x^4 수준으로 감소하는 경우에서의 heavy-tailed 랜덤 행렬에서의 최대 고유값이 어떤 극한 확률 분포를 갖게 되는지에 대 해 다룬다. 결론적으로 이 분포는 행렬의 성분들의 절대값이 1보다 작은 사건 안에서 Tracy-Widom 분포로 수렴하게 되는데, 이 사건은 e^(-1/2)(1+o(1))의 확률을 가진다. 또한 1보다 큰 성분이 행렬 내에 존재할 때에 이 분포는 가장 큰 성분에 의존하는 분포를 보이게 될 것으로 예측할 수 있다.
