There are four quadratic invariants of a field $F$. These are the level, the height, the Pythagoras number and $u$-invariant. Among them, the most important invariant is the $u$-invariant. The computation of $u$-invariants makes very interesting uses of the theory of quadratic forms over the field $F$ and provides a very substantial enrichment of this theory. By using elementary method, we can prove that $u$-invariant cannot be 3,5,7. Also, we can prove that any even number can be $u$-invariant of some field. There are two ways to prove this theorem. One is using ring theory and basic theory of quadratic forms. The other is using algebraic geometry, especially, properties of Chow group of quadric. In this paper, we will provide some basic concept and prove these results.
Quadratic Form에 대한 연구는 1970년 Witt에 의해 본격적으로 시작되었다. Witt 는 모든 Quadratic Form을 모아 Witt Ring이라는 대수적 구조를 만들고 이것의 대수적 성질을 연구하기 시작했다. Witt Ring의 성질을 탐구하면서 수학자들은 Quadratic Form을 어느 정도 분류하는데 성공한다. Quadratic Form의 보다 깊은 이해를 위하여 수학자들은 Quadratic Form으로 정의된 불변량에 관심을 갖기 시작한다. 이차형식으로 정의된 여러 가지 불변량이 있지만 그 중 가장 좋은 성질을 가지는 것은 u-invariant이다. u-invariant와 이차형식의 차원에 대한 여러 가지 좋은 성질들이 많이 알려지고, 수학자들은 u-invariant가 어떤 수가 될 수 있는지 궁금해한다. \\
u-invariant가 3,5,7이 될 수 없다는 것은 간단한 대수학으로 해결할 수 있다. 1954년 Kaplansky는 몇 가지 체에서 u-invariant를 계산한 뒤 u-invariant는 모두 $2^{n}$ 꼴이라는 추측을 내놓는다. 하지만 1991년 Merkurjev가 임의의 짝수를 u-invariant로 가지는 체를 만들어내면서 이 추측은 거짓임이 밝혀진다. Merkurjev가 사용한 방법은 clifford algebra로 정의되는 불변량을 이용하는 방법이었다. Merkurjev는 특정 성질을 만족하는 체를 쌓아올려 증명에 성공한다.\\
시간이 흘러 대수기하학의 이론들이 발전하고 수학자들은 이차형식의 연구에 대수기하학을 이용하기 시작한다. 이 방법의 선구자는 러시아의 수학자 Vishik이었다. Vishik은 어떤 이차형식으로 만들어지는 Projevtive Scheme의 Chow Group를 연구하여 u-invariant의 연구에 획기적인 업적을 남긴다. 대수기하학적 접근으로 인해 Merkujev와는 전혀 다른 방식으로 모든 짝수가 u-invariant가 될 수 있음을 보였고 더 나아가 $2^{n}+1$ 꼴의 u-invariant를 가지는 field 가 있음을 보인다. 많은 수학자들은 아직도 대수기하학적 접근을 이용하여 u-invariant를 연구하고 있다.\\
이 논문에서는 첫 번째로 u-invariant가 3,5,7이 될 수 없음을 보인다. 그리고 u-invariant로 모든 짝수가 가능하다는 사실에 대해 Merkujev와 Vishik의 증명을 모두 소개하는 것을 목표로 하고 있다.
