The Kirchhoff’s formula is very useful for sound radiation problem in the time domain. The classical Kirchhoff formula is restricted to the stationary surfaces and a stationary medium. In the wind tunnel test, the turboprop aircraft or the rotor can be considered as a rotating sources in a moving medium. Thus, the Kirchhoff formula for a moving medium and/or moving surfaces is derived using the generalized function theory to consider the wind tunnel test.
The convective wave equation is used to derived the convective Kirchhoff formula for moving surfaces in a moving medium and a generalized convective wave equation is obtained. The solution of the generalized convective wave equation is obtained in an integral form and it is reduced to a surface integral formula, convective Kirchhoff formula. The formula has a similar form of the classical Kirchhoff formula and thus it is useful to implement numerically. The convective Kirchhoff formula is applied to a stationary and a rotating sources in a moving medium first and the result showed good agreement. The convective Kirchhoff formula is transformed to the frequency domain to verify the formula by comparison with the previously derived convective Helmholtz formula in the frequency domain. Transformed formula was exactly the same to the convective Helmhotlz formula.
The convective Kirchhoff formula can be used as moving sources in the frequency domain boundary element method which uses the convective Helmholtz integral equation. In general, the frequency domain analysis cannot implement the moving sources. Thus a convective Kirchhoff surface source concept is introduced containing the moving sources and the fixed surface can be used as a source in the frequency domain. The frequency domain boundary element analysis with the Kirchhoff surface is applied to the rotating sources next to a circular rigid cylinder and the result showed good agreement with far-field scattering solution. Further, boundary element method gave the surface pressure information of the cylinder which is important to the interior noise of the aircraft.
The convective Kirchhoff formula is used as a boundary integral equation in the time domain. If the observer is on the surface, the Kirchhoff formula becomes a boundary integral equation and the solid angle is obtained analytically. The time domain boundary element method is described to solve the convective boundary integral equation. The retarded time in the integral equation has to be evaluated using the phase radius which contains the moving medium and moving source effect to use the convective boundary integral equation. Sound radiation by a stationary point monopole and a rotating point monopole in a moving medium are solved using the time domain boundary element method.
The implicit time marching technique is used to avoid the instability problem and the result showed good agreement with the exact solution. The acoustic scattering by a finite wing is solved using the time domain boundary element method to verify the methodology and it also showed good agreement with previously reported result in the frequency domain.
The convective wave equation is exactly the same to the governing equation of unsteady compressible aerodynamics. Thus the integral equation derived here and the boundary element method can be used to predict the aerodynamics and the aeroacoustics of the helicopter rotor with symmetric airfoil in forward flight simultaneously for the case of no lift. The method can be extended to the unsteady compressible aerodynamics with lift and/or the aeroacoustic problem in the future.
Kirchhoff formula는 시간영역에서 소음의 방사를 해석하는데 있어서 매우 유용하다. 기존의 Kirchhoff formula는 매질과 음원면이 정지해있는 경우에 대해서만 적용이 가능하다. 터보프롭 항공기 또는 로터에서 발생하는 소음을 측정하기 위하여 풍동시험을 하는 경우 프로펠러와 로터는 움직이는 매질 내 회전하는 음원으로 고려할 수 있다. 따라서 이를 해석하기 위한 움직이는 매질 내 움직이는 면에 대한 Kirchhoff formula를 초함수이론을 이용하여 유도하였다.
움직이는 면에 대한 대류 Kirchhoff formula를 유도하기 위하여 대류 파동방정식을 초 대류 방정식으로 변환하였다. 초 대류 파동방정식의 해를 적분형태로 얻었으며 이를 면적분 형태로 바꾸어 대류 Kirchhoff formula를 얻었다. 얻은 적분식을 기존의 Kirchhoff formula와 같은 형태로 바꾸어 줌으로써 수치적으로 사용하는데 용이하도록 하였다. 유도된 식을 이용하여 움직이는 매질 내 정지해있는 음원과 회전하는 음원에 대하여 해석을 수행하였고 엄밀해와 잘 일치하는 것을 확인하였다. 식의 정확성을 확인하기 위하여 유도된 식을 주파수영역으로 변환하여 기존에 알려져 있는 주파수영역 Helmholtz formula와 비교하여 같음을 확인하였다.
주파수 영역 해석을 위하여 본 연구에서 유도한 대류 Kirchhoff formula를 이용하여 회전하는 음원을 주파수영역에서 모사하였다. 일반적으로 주파수 영역 해석에서는 움직이는 음원을 고려할 수 없기 때문에 대류 Kirchhoff 음원 개념을 도입하여 회전하는 음원을 모사하였고 고정된 면으로 표현된 회전음원은 주파수영역 해석에 면음원 형태로 구현되었다. Kirchhoff 음원을 이용한 주파수 영역 경계요소법을 유한한 길이의 강체 실린더 옆 회전하는 음원의 산란음장 해석에 적용하였고 원거리에서 엄밀해와 잘 일치하는 것을 확인하였다. 경계요소법은 근거리, 특히 항공기 실내 소음과 관련이 있는 표면음압분포를 제공한다는 점에서 매우 유용하다.
대류 Kirchhoff formula는 시간영역에서 경계적분방정식으로 사용될 수 있다. 만일 수음자가 적분면 위에 있다면 Kirchhoff formula는 경계적분방정식이 되며 이경우의 고체각을 엄밀하게 유도하였다. 이를 수치적으로 풀기 위하여 시간영역 대류 경계요소법을 개발하였다. 시간영역 대류 경계요소법의 경우 기존의 시간영역 경계요소법과 달리 지연시간을 매질과 음원의 움직임을 고려한 위상거리를 이용하여 얻어야 한다. 이를 이용하여 움직이는 매질 내 정지해있는 단극 점음원과 회전하는 단극 점음원에 대하여 시간영역 경계요소법을 수행하였다. 수치적인 안정화를 위하여 내연적 시간전진기법을 사용하였고 해설결과와 엄밀해가 잘 일치하는 것을 확인하였다. 또한 유한한 길이의 날개 위 음원이 있는 경우의 산란음장을 시간영역 경계요소법을 이용하여 해석하였고 기존에 발표된 주파수영역 해석 결과와 잘 일치함을 확인하였다.
대류 파동방정식은 비정상 압축성 공기역학의 지배방정식과 동일하다. 따라서 본 연구에서 유도한 적분방정식과 경계요소법은 무양력 조건에서 대칭익형 사용한 헬리콥터 로터의 전진비행시 공력과 공력소음을 예측하는데 사용될 수 있다. 이후 본 연구를 확장하여 양력이 존재하는 경우의 비정상 압축성 공력과 공력소음을 예측하는데 사용될 수 있을 것이다.
