Dynamic and multi-frame medical imaging techniques using the computed tomography (CT) and positron emission tomography (PET) have been used for the speci c purposes such as the functional brain kinetic analysis, cardiac cine imaging, respiratory motion and spectral CT. To improve the image quality, dynamic and multi-frame redundant information can be used. However, we need to consider such that the intensity varies over time in the dynamic PET and the deformation occurs in the cardiac CT. To address this issue, many advanced reconstruction algorithms have been developed using various spatio-temporal regularization schemes. Sparsity penalty is one of the popular methods, which minimizes the coefficients in the transform domain such as using the Fourier transform, wavelet transform and principle component analysis. However, one of the problems is that the pixel-based penalty is very sensitive to the intensity variation, which results in the over-smooth image. To overcome this issue, the global low-rank penalty has been used for less sensitive to global intensity variation, which utilizes spatio-temporal correlation of images. However, the global low-rank is difficult to capture the motion structures. Recently, the patch-based method has been developed, which is robust to noise while preserving the image resolution and geometrical structures in motions. By extending previous approaches, we propose a penalized maximum likelihood method using a novel non-convex patch-based low-rank penalty by exploiting the self-similarity of spatio-temporal patches that are collected in dynamic and multi-frame images. Since the similar patches have only a few principle components, it could be the low-rank. Thus, one of the main advantage of the proposed method is that the patch-based low-rank constraint is less sensitive to intensity variation while preserving edge directions and motion components. In the optimization framework, the original cost function consists of the Poisson log-likelihood for transmission (CT) or emission (PET) data and the non-convex patch-based low-rank penalty. To solve the non-convex penalty, we propose a novel optimization method based on the difference of convex functions algorithm (DCA) using concave convex procedure (CCCP). This results in an alternating minimization which provides the convergent closed-form solution and has a computational advantage with the efficient memory usage. In our three applications of the 4D dynamic PET, the spectral CT and the cardiac CT, we con rm that the proposed method can improve the image qualitatively and quantitatively, also reduce the motion artifacts. Furthermore, the proposed method is accelerated signi cantly using the GPU implementation, which makes the algorithm very practical.
최근 의료 영상 기기의 발전과 더불어 기능성 동적 PET 영상, 멀티에너지 CT, 심기능 CT 등의 4차원 동적/ 영상이 많이 연구되고 있다. 각각의 프레임 별 영상은 측정 시간이 짧거나 데이터 양이 적기 때문에 재구성 된 영상은 심한 잡음 및 음영(artifact)을 포함할 수 있다. 이런 문제를 해결하고자 시간 축이나 멀티 프레임의 추가적인 정보를 이용해서 영상의 화질 향상에 이용하는 방법들이 제안되어 왔다. 대표적으로 압축 센싱 이론에서 제안한 희소성(sparsity)을 이용하는 방법이 있다. 희소성을 이용하기 위해서는 영상을 변환(transform)하는데 주로 푸리에 변환, 웨이블릿 변환, 주성분분석(principle component analysis) 등을 이용할 수 있다. 이 때 변환된 영역에서의 일부 계수만이 영상의 대부분의 정보를 가지고 있기 때문에 계수 들의 희소성을 이용하여 영상을 복원할 수 있다. 희소성을 이용하기 위한 변환은 시간축 혹은 공간축으로 픽셀 기반 연산을 하게 되는데 동적 PET처럼 시간 축에 따라 값의 변화가 심하거나 영상 자체의 잡음이 많은 경우 복원된 영상에 번짐 효과가 심할 수 있다. 다른 방법으로는 영상 랭크 최소화(low-rank) 방법이 있는데 압축 센싱 이론의 Matrix completion 분야에서 제안되었다. 전체 영상을 이용하는 랭크 최소화 방법은 영상의 시간축 공간축의 상관관계를 고려하여 계산하는데 시간에 따라 값의 변화가 심하거나 잡음이 많아도 강인하게 동작한다. 하지만 랭크 최소화 방법은 영상들 간의 움직임이 있는 경우 모션의 번짐 효과가 발생할 수 있다. 이런 문제들을 해결하기 위해 패치(patch)를 이용하는 방법들이 최근에 많이 제안되어왔다. 패치는 영상에서의 2차원 혹은 3차원의 작은 블럭을 의미한다. 패치를 이용하는 알고리즘들은 잡음에 강하고 영상의 구조를 잘 보존하는 장점을 가지고 있다. 대표적으로 패치기반의 BM3D (block matching 3D), Non-local means와 같은 방법들이 많이 사용되고 있다. 본 학위 논문에서는 패치기반의 랭크 최소 정규화 (Patch-based low-rank regularization) 알고리즘을 제안하였고 기존의 정규화 방법들의 문제점을 해결하고자 하였다. 패치기반의 랭크 최소 정규화 방법은 4D 영상의 내부 구조의 유사성 이용하는 방법으로 유사한 패치들을 모아서 랭크를 최소화하는 방법이다. 유사한 패치들을 모았기 때문에 매우 적은 수의 주 성분들이 존재하고 이를 이용해서 영상 복원의 조건으로 사용한다. 제안하는 패치기반의 랭크 최소 정규화 방법은 잡음에 강하고 영상을 구조를 잘 보존하며 움직임을 고려해서 동작하는 장점이 있다. 하지만 랭크를 바로 최소화하는 방법은 해결하기 어렵기 때문에 주로 볼록함수(convex) 형태로 바꾸어서 해결하는 방법이 많이 사용되어져 왔다. 최근에는 성능의 향상을 위해 비볼록(non-convex) 함수를 사용하고자 하는 시도가 많았다. 본 학위논문에서는 후버함수(Generalized Huber function)를 이용하여 랭크 최소화 함수를 제안하였다. 후버함수는 미분 가능한 연속함수로 볼록 함수와 비볼록 함수를 포함하고 있다. 하지만 비볼록 함수는 전체 함수의 수렴을 어렵게 하고 해답을 구하기 어려운 문제가 있다. 따라서 본 학위논문에서는 볼록 함수의 차(Difference of convex functions algorithm, DCA) 이론을 이용하여 해결하고자 하였다. 볼록함수의 차 이론에서는 CCCP (concave-convex procedure)라는 알고리즘을 이용하는데 모든 함수는 볼록함수의 켤레(convex conjugate)를 가진다는 성질을 이용한다. 이 때 비볼록함수는 또 다른 변수의 최소화 문제로 바뀌게 된다. 따라서 원래의 데이터 함수와 또 다른 변수의 정규화 함수를 번갈아 가면서 최적화 문제를 풀게 된다. 볼록 함수의 차 이론을 이용함으로써 각각의 최적화 문제는 볼록함수의 문제로 바뀌게 되고 수렴을 보장할 수 있게 되었다. 또한 패치기반 랭크 최소 정규화의 경우 축소연산(shrinkage operation)을 이용해서 연산이 매우 간단해 진다는 장점이 있다. 구체적으로 동적 PET 영상의 경우 시간축의 정보를 이용해서 패치기반 랭크 정규화에 이용하였다. 동적 PET은 신진대사의 kinetic 파라미터 획득이 가장 중요하다. 본 학위논문에서는 영상의 화질 향상 뿐만 아니라 뇌의 kinetic 파라미터도 기존의 다른 알고리즘 보다 훨씬 정확함을 확인할 수 있었다. 두번째로 Spectral CT의 경우 에너지 방향의 정보를 패치기반 랭크 정규화에 이용했고 영상의 대조, 잡음 감소에 큰 향상을 확인할 수 있었다. 각각의 물질은 에너지의 변화에 따라 비선형적(non-linear)으로 감쇄계수(attenuation coefficient)가 변하게 되는데 작은 패치안에서는 물질의 수가 한개 혹은 두개 이하이고 따라서 주성분도 한개 혹은 두개 이하이기 때문에 랭크 최소화에 적합한 문제로 바뀌게 된다. Spectral CT에 패치기반 랭크 정규화를 이용하는 가장 큰 장점중에 하나는 많은 수의 에너지가 구분된 데이터가 필요없다는 것이다. 마지막으로 심기능 CT의 경우 수축기 영상 복원에 패치기반 랭크 정규화를 이용했고 이완기 영상에서 유사한 패치들을 가져와서 수축기 영상만 업데이트 하였다. 특히 수축기 영상 복원에서 생길 수 있는 각도 부족한 경우에 발생하는 음영(artifact), 번짐(blurring) 효과 등을 획기적으로 제거할 수 있었다. 본 학위논문에 구현한 모든 알고리즘은 그래픽 연산장치(graphics processing unit, GPU)를 활용한 병렬처리알고리즘을 이용했고 최소 수십배에서 수백배 이상 속도향상을 이루었다. 이를 이용해서 실제 임상에서 사용한 가능한 수준으로 향상 시켰다.
