The GMRES is one of the iteration methods how to solve linear equations.
Especially, it is effective for nonsingular, nonsymetric, sparse matrix.
Full GMRES is a typical method as increase n of $Q_n$, $H_n$ one by one until $\|b-A\cdot x_n\|$ is sufficiently small. But, sizes of $Q_n$, $\widetilde{H_n}$ are changed and bigger than previous size. we need to preserve all data in each iteration. So, many memories are needed for saving data. the speed of calculation is increasingly slow. So we try to restarted GMRES that runs in Krylov space with fixed dimension. There is a Hessenberg matrix in Anoldi iteration. So, we studied various QR decompositions that can solve $\widetilde{H_n}\cdot y_n=B$. Since it is a Hessenberg form, we change the algorithm of standard QR decomposition. And also, we try to combine the QR decomposition algorithm in Anoldi process.
GMRES는 비대칭 스팔스 형태의 선형 방정식을 푸는데에 주로 사용한다. Full GMRES는 점차적으로 행렬의 크기를 1씩 증가시켜 가면서 근사값이 정답에 가까울 때 까지 시행을 한다. 하지만 이 방법은 행렬의 크기가 변한다는 단점과 크기가 커짐에 따라 저장되는 데이터 공간이 많이 필요하다는 단점이 있다. 그래서 restarted GMRES 방법을 사용한다. 이 방법은 처음 설정한 Krylov 공간의 차원만큼 행렬의 크기가 정해지므로 행렬의 크기가 변하지 않고 시행이 반복되어도 데이터 공간을 많이 차지 하지 않는다. 크기가 큰 행렬을 낮은 차원에 선형방정식으로 바꿔서 반복하여 근사치를 구하는데 장점이 있다. 여기서 헤센버그형태 행렬의 분해가 필요하다. 헤센버그형태라는 점을 최대한으로 이용하여 필요 없는 계산을 줄여서 기존의 QR분해를 개량하고, 거기에 더 나아가 아놀디 반복과정에서 바로 헤센버그행렬을 분해하는 법을 제안하였다. 다양한 QR 분해들을 시도 했으나 Krylov 공간의 차원이 그리 크지 않아서 방법간에 큰 차이는 보이지 않았다. 좀 더 빠른 해결을 위해서는 차원을 얼마로 하여 반복 할것인가가 중요 할 것이다.
