We discuss the additive Schwarz method for solving the Poisson problem. Additive Schwarz method is one of well known overlapping domain decomposition methods which effectively solve elliptic partial differential equations. The performance of this method dependent upon the overlap size and the number of subdomains.
In this thesis, we study how these factors affects the performance. For each subdomain, the additive Schwarz method needs to solve the linear system. As a local system solver, we consider the Gaussian Elimination and the Conjugate Gradient method. Then we compare their efficiencies in the Schwarz algorithm. We finally use the additive Schwarz preconditioner with the overlap size and the number of subdomains determined by the numerical tests. Then we observe the effect of the additive Schwarz preconditioner.
본 논문에서는 포아송 문제를 오버랩핑 영역분할방법인 슈바르츠 방법으로 풀고자 한다.
슈바르츠 방법은 주어진 문제영역을 겹치는 부분영역으로 분할하여 각 부분영역의 해를 반복적으로 근사해 나가는 방법이다. 그 과정에서 부분 영역의 수와 겹치는 부분의 비율선택이 요구된다. 이상적인 부분영역의 수와 겹치는 부분의 비율을 얻기 위해 하나의 포아송 문제에 대해 부분 영역의 수와 겹치는 영역의 비율을 달리하며 계산 속도를 비교하였다. 또한 슈바르츠 방법은 반복적으로 부분영역에 대한 선형시스템을 해결해야 하는데 가우스소거법과 CG방법을 사용하여 비교하였다.
그 결과 부분영역에 대해서 약 25%의 겹치는 비율을 갖는 경우가 가장 좋은 성능을 보였고, 가우스소거법이 CG방법을 이용한 경우보다 더 빠른 계산을 가능하게 했다. 25%의 겹치는 비율과 가우스소거법을 사용하여 각 시스템크기에 대해 부분 영역의 수를 바꿔가며 가장 좋은 성능을 보인 부분 영역의 수를 그래프로 표시하였다. 마지막으로 영역분할방법을 사용하지 않고 전체 행렬의 성분 대부분이 0임을 이용해서 CG방법을 쓴 결과와 비교를 하였는데, 영역분할방법을 사용한 경우가 더 나쁜 결과를 보여주었다. 그러나 슈바르츠 방법으로부터 유도된 preconditioner를 이용하여 CG방법을 사용할 경우 더 빠르게 해를 구할수 있었다.
