Generalized linear models (GLM) are commonly used to examine an association between a response variable and several explanatory variables when the response variable does not follow a Gaussian (e.g. count variable). Often, the effects of the predictors are not linear and such nonlinear relationship can be incorporated into GLMs using semiparametric regression approaches. In addition, if the effects of the predictors change over other factors (e.g., time), a time-varying coefficient model can be combined with the GLMs.
When a multi-site time series data is provided, interest is often on estimating time-varying nonlinear effects of predictors on a response variable both site-specifically and globally. In such case, a Bayesian hierarchical regression structure can be added to the GLM, which automatically allows for borrowing information across sites to provide a global estimate. Bayesian hierarchical model may also be beneficial in the statistical inference for city-specific estimates when missing data exist for certain time periods at some sites and similarity among cities can be assumed.
In this paper, motivated by a temperature-mortality association study data for the population in 6 major cities in Japan, we propose a new statistical approach to investigate nonlinear time-varying effects of temperature on mortality both city-specifically and countrywide simultaneously. We call the proposed method a Bayesian hierarchical semiparametric time-varying coefficient regression model. Simulation studies show that the proposed model performs well and is particularly beneficial when missing data occur. We also apply the proposed model to the motivating example data.
반응 변수가 정규 분포를 따르지 않는 경우(예를 들어 가산 변수), 일반화 선형 모형이 반응 변수와 설명 변수 사이의 관계를 분석하는데 주로 사용된다. 종종 독립 변수들의 영향이 선형이 아닌 경우가 있는데, 이러한 비선형적인 관계는 일반화 선형 모형에서 확장 된 준모수 회귀 모형을 이용하여 설명 될 수 있다. 또한, 일반화 선형 모형에 시변계수를 결합시킴으로써 독립 변수들의 영향이 시간과 같은 다른 변수에 의하여 변화하는 모델로 확장할 수 있다.
일본의 여섯개 도시들에 대한 온도와 사망자 수가 이 논문에서 제시할 모형의 발단이 된 자료이다. 이처럼 여러 지역별로 자료가 얻어질 때, 설명 변수들이 반응 변수에 주는 비선형적인 영향과 시간에 따라 변하는 추세를 각 지역 뿐만이 아니라 지역 전체에 대해서 알아내는 것도 주요 관심사이다. 베이지안 계층 구조를 일반화 회귀 모형에 추가 함으로써 자동적으로 지역 간의 정보가 공유되며, 이를 통해 지역 전체에 대한 효과를 추정하는 것이 가능하게 된다. 지역간에 유사성이 있다는 가정하에, 베이지안 계층 모형을 이용하면 몇 개의 지역들의 자료가 특정 시간 구간에서 누락 되어 있다고 하더라도 다른 지역들의 정보로 부터 누락된 범위에 해당하는 추정치를 구할 수 있다는 이점이 있다.
온도가 사망자수에 주는 영향은 비선형적이며 시간에 따라 변화하는데, 이 논문에서는 이러한 관계를 각 지역 뿐 아니라 지역 전체에 대해서도 설명할 수 있는 새로운 통계적인 방법을 제시한다. 이러한 모형을 베이지안 계층 구조를 이용한 시변 계수를 가진 반모수적 회귀 모형이라 부르며, 모의실험을 통해 우리가 제시한 모형이 잘 적용되는지와 누락된 자료가 있을 때 이점이 있는지를 확인 하였다. 그리고 이 모형을 이용하여 실제 자료(제시한 모형의 발단이 된)를 분석하였다.
