This dissertation is devoted to the study of computational aspects for some affine processes. In particular, we deal with affine diffusion processes on the canonical state space, general affine processes on positive semidefinite matrices, and a multifactor stochastic volatility model with affine property.
For affine diffusion processes, we establish the sample path and finite dimensional large deviation principles. The large deviation principle is a crucial tool in asymptotic computations of probabilities of rare events, and it is recently applied to various problems in mathematical finance. Large deviation principles for some specific affine diffusion processes have been studied by some authors. We provide in this thesis a unified treatment of their large deviation results under the standard uniform topology and a mild technical condition.
As the financial derivatives get complicated, the correlation and covariance between assets have become one of the most prominent sources of risks. Affine processes on positive semidefinite matrices provide a flexible and tractable family of stochastic processes for modeling realistic stochastic covariance matrices. The affine transform formula lies at the center of the computational tractability of such processes. We extend the affine transform formula from marginal distributions to linear functionals of affine processes. Moreover, we find that the transforms of brides of affine processes are closely related to marginal distributions under equivalent probability measures as well as unconditional transforms.
Many empirical studies have documented that multifactor stochastic volatility models outperform single factor models in fitting term structure of implied volatilities. Among such multifactor models, the Wishart multidimensional stochastic volatility model provides most flexible features by incorporating matrix-valued Wishart process as the volatility factor. The analytic aspects of the model are well studied, but there were no reliable simulation method of the model. In this thesis, we propose an exact simulation method of the Wishart multidimensional stochastic volatility model. Our new simulation method is built upon the analysis of conditional transforms of logarithmic price process given volatility level. We provide some numerical results to verify accuracy of our method in comparison with a classical discretization scheme.
본 학위논문에서는 세가지 종류의 아핀 과정(affine processes)의 계산과 관련된 문제를 주로 다룬다. 아핀 과정은 지난 10여 년간 금융수학의 주요 연구 분야 중 한가지였다. 금융수학에서 아핀 과정이 이와 같은 큰 주목을 받게 된 이유는 크게 두 가지를 들 수 있다. 아핀 과정은 금융시장에서 발견되는 다양한 위험요인들을 반영하기에 충분한 유연성(flexibility)을 가지며, 다차원 확률과정임에도 불구하고 일정 수준의 계산 용이성(computational tractability)을 갖는다.
본 논문의 첫 부분에서는 기본상태공간(canonical state space)위에 정의된 아핀 확산 과정(affine diffusion processes)의 대편차 원리(large deviation principle)을 규명한다. 대편차 원리는 희귀 사건(rare events) 확률의 점근적 변이(asymptotic behavior)를 분석하기 위해 고안되었으며, 금융 수학·공학의 다양한 분야에 응용되고 있다. 우리는 초기상태가 상태공간의 내부에 있기만 하면, 아핀 확산과정이 항상 표본 경로(sample path) 대편차 원리를 만족시킨다는 것을 증명하였으며 비율함수의 닫힌공식을 제공하였다.
금융파생상품의 구조가 복잡해짐에 따라 여러 기초자산 사이의 상관계수(correlation) 또는 상호변동성(covariance)이 금융 위험의 주요 요인으로 여겨지고 있다. 행렬 아핀 과정(affine processes on positive semidefinite matrices)은 상호변동성의 확률 모형화를 위한 수학적 기반을 제공한다. 우리는 행렬 아핀 과정의 아핀 변환 공식(affine transform formula)를 확장하여 아핀 과정의 선형범함수(linear functional)에 대한 변환을 계산하는 방법을 제시하였다. 또한 우리의 공식을 기술하기 위해 쓰인 적분방정식이 항상 해를 가진다는 것도 증명하였다.
위샤르트 다차원 확률 변동성(Wishart Multidimensional Stochastic Volatility, WMSV) 모형은 헤스턴 모형의 단인자(single factor) 변동성을 다인자(multifactor)로 확장하였다. 다인자 모형으로 확장함으로써, 모형의 유연성은 한층 강화되었으며 내재변동성(implied volatility)의 기간 구조(term-structure)를 잘 재현한다. 하지만 모형의 복잡도가 증가하여 기존의 단순한 시뮬레이션 방법은 더 이상 적용할 수 없게 되었다. 우리는 WMSV 모형의 정확한 시뮬레이션(exact simulation) 방법을 제시하였다. 정확한 시뮬레이션 방법은 편향오차를 갖지 않기 때문에, 전체 오차를 분산오차 만으로 제어할 수 있다는 장점을 가진다. 우리는 제시한 시뮬레이션 방법의 효율성 및 정확성을 확인하기 위해 다양한 수치 실험을 수행하였다.
