In this paper, we prove the criterion for a Zariski dense subgroup generated by reflections $\Gamma \subset \SL^{\pm}(n+1,\mathbb{R})$ to be definable over $\mathbb{A}$ where $\mathbb{A}$ is an integrally closed Noetherian ring in the field $\mathbb{R}$. We apply this criterion for groups generated by reflections that act cocompactly on irreducible properly convex open subdomains of the $n$-dimensional projective sphere. This gives a methodology to construct injective group homomorphisms from such Coxeter groups to
$\SL^{\pm}(n+1,\mathbb{Z})$. Finally we provide some examples of $\SL^{\pm}(n+1,\mathbb{Z})$-representations of such Coxeter groups. In particular, we consider simplicial reflection groups that are isomorphic to hyperbolic simplicial groups and classify all the conjugacy classes of the reflection subgroups in $\SL^{\pm}(n+1,\mathbb{R})$ that are definable over $\mathbb{Z}$.
이논문에서는 자리스키-옹골진 반사 부분군 $\Gamma \subset \SL^{\pm}(n+1,\mathbb{R})$가 정수적으로 닫힌 뇌터환인 $\mathbb{A}$에 정의되는 판단기준을 증명하였다. 우리는 이 판단기준을 n-차원 실사영 구면의 irreducible properly 볼록한 열린 부분구역에 cocompact하게 작용하는 반사군에 적용하였다. 이런 접근방식은 그러한 콕세터군에서 $\SL^{\pm}(n+1,\mathbb{Z})$로의 단사 준동형 사상을 만드는 방법론을 제시한다. 최종적으로 우리는 그러한 콕세터군의 $\SL^{\pm}(n+1,\mathbb{Z})$-representation의 예를 들어 보였다. 특히 쌍곡 심플렉스 반사군들의 $\SL^{\pm}(n+1,\mathbb{Z})$-representation을 모두 분류하였다.
