In this thesis we discuss some modularity criterion for a product of
Klein forms of the congruence subgroup $\Gamma_1(N)$ and some
applications of Eisenstein series to the theta functions associated
with certain quadratic forms. As an application of the Klein forms,
we construct a basis of the space of modular forms for
$\Gamma_1(13)$ of weight $2$. In the process we face with an
interesting property about the coefficients of certain theta
function from a quadratic form. We extend it to more general cases
and prove it by applying Fricke involutions and Hecke operators to
Eisenstein series and theta functions.
본 논문에서는 합동 부분군 $\Gamma_1(N)$에 대한 클라인 형식의 유한 곱의 보형성 판정기준과 이차형식과 관련된 씨타 함수에 관한 아이젠슈타인 급수의 응용에 대하여 논한다.
클라인 형식의 응용으로서
우리는 무게가 $2$인 $\Gamma_1(N)$에 관한 보형함수들의 공간의 기저를 형성한다. 그 과정에서 우리는 어떤 이차형식으로 만들어지는 씨타 함수의 푸리에 계수들 간의 흥미로운 성질을 발견한다. 그 성질을 좀 더 일반적인 경우로 확장한 뒤 아이젠슈타인 급수와 씨타 함수에 프리케 대합과 헤케 연산자를 적용하여 그 성질을 증명한다.