In this dissertation, discrete-time Geo/G/1 queues with negative arrivals and repairable servers are discussed. Negative arrivals can be regarded as the breakdown of a machine leading to destruction of work in process in systems. Negative arrivals fall into two types. One is a disaster and the other is a negative customer. Once a disaster arrives in the system, it removes all customers (workloads or packets) in the system. However, a negative customer, another type of negative arrivals, kills one ordinary customer who is being served. These negative arrivals have an effect on the system only if the server is busy.
Depending on whether new arrivals are allowed to enter the system during the repair time, there can be one of the two following systems. In System 1, the customers newly arriving during the repair period cannot enter the system and are blocked. In System 2, they join the queue and wait for the server to be repaired. As soon as the repair period ends, the server promptly becomes available.
Using the supplementary variable technique, the stationary queue length distributions of the Geo/G/1 queues with negative arrivals and repairable servers of both System 1 and 2 are obtained. With the results in process of the supplementary variable technique, the sojourn time distributions are also derived for each system. Numerical experiments are conducted to investigate the influence of the occurrence rate of negative arrivals on the mean queue length of each system.
서비스를 제공하는 서버와 서비스를 요구하는 고객으로 구성된 대기행렬 시스템에서, 고객이 갑작스런 고장 현상으로 인해 서비스를 제공 받지 못하고 강제로 시스템을 이탈하는 경우가 존재한다. 기계 가공 중에 일어날 수 있는 재공품 (work-in-process)의 파손과 이것으로 야기된 서버 고장 (breakdown)으로 대기열 (waiting line)에 있는 재공품 모두 또는 일부를 폐기해야 하는 상황을 여러 생산시스템에서 가정할 수 있다. 이와 같이, 서버 고장 현상으로 정상적인 서비스를 받지 못하고 고객 (일감, workload)이 시스템을 이탈하는 경우를 Negative arrival 로 정의한다.
Negative arrival은 다시 두 가지의 경우로 나눌 수 있다. 가공 중에 있는 일감을 폐기 처분하는 하거나 방금 시스템에 도착한 일감을 폐기하는 경우이다. 이는 Negative Customer로 불린다. 이에 대조적으로, 가공 중인 일감을 포함하여 대기열에 있는 일감 모두를 폐기하는 경우가 있다. 이는 Disaster로 불린다.
고장 난 서버에 대해서 수리가 가능하다. 그런데, 수리기간 동안 도착하는 고객을 어떻게 처리하느냐에 따라 수리 정책에는 두 가지의 정책을 들 수 있다. 첫째, 수리 기간 중 임시 저장소 (buffer)를 설치하지 않고, 수리 시간 동안 도착하는 새로운 일감을 시스템에 입장 시키지 않는 정책이다 (수리 정책 1). 둘째, 수리 시간 동안 도착하는 새로운 일감을 임시 저장소에 저장하여 시스템에 입장 시키는 정책이다 (수리 정책 2). 수리 정책 2 하에서는 서버의 수리가 완료 되는 즉시 임시 저장소에 저장된 일감이 서비스를 받게 된다. 이러한 수리 정책을 대기행렬 모형 분석에 추가함으로써, 보다 현실적인 생산시스템의 성능 척도를 구할 수 있다.
본 연구에서는 서버 고장과 수리가 존재하는 이산 시간 Geo/G/1 대기행렬 시스템을 분석하여 주요 성능 척도 중에 하나인 임의 시점 고객수 (queue length) 분포와 대기 시간 (sojourn time) 분포를 유도한다. 또한, 시스템 출력율 (throughput rate)에 대해서도 연구한다. 서버 고장 현상은 Disaster인 경우와 Negative customer인 경우로 세분화한다. 각각의 이산 시간 Geo/G/1 대기행렬 시스템에 수리 정책 1과 수리 정책 2 가정을 추가한다.
따라서 본 연구는 보다 현실적인 가정을 갖는 여러 시스템 운영 환경을 모형화하여 연구 결과의 응용 가능성을 보다 높이려 한다. 이산 시간 단위로 이루어지는 고객의 도착 과정과 서비스 제공 과정을 일반화하였음은 물론, 서비스를 제공 받지 못하고 고객이 이탈하는 현상을 분석의 범위 안으로 가져온다.
본문에서는 여러 경우에 대한 성능 척도를 부가변수법 (supplementary variable technique)을 통하여 유도한다. 이를 통해, 주어진 모형에서의 고객수 분포를 체계적인 분석 과정과 함께 완성된 형태 (closed-form)로써 제시한다. 아울러, 각각의 경우에 따른 임의시점에서의 대기 시간 분포는 물론, 서비스를 제대로 수행 받고 이탈하는 시스템 출력율 까지 유도한다.
마지막으로, 수치 예제를 통해, 현실 상황에서의 모형의 분석 결과를 어떻게 적용할 수 있는지를 간단히 예시한다.