One of strong aspects of algebraic geometry is that it provides a way to study singular points. On the other hand, varieties without singular points behaves much better. Especially, many theorems in differential geometry can be rephrased in terms of smooth varieties in algebraic geometry. To absorb the benefits of differential geometry, we define tangent spaces and smoothness for algebraic varieties and study their algebraic properties. Then we obtain some analogous results such as the inverse function theorem (Theorem 1.12). For a base field C, a smooth variety can be regarded as a complex manifold, which allows us to use techniques on differential (or complex) geometry. Indeed, the Lefschetz’s principle (Theorem 2.3) asserts that for any algebraically closed field K with characteristic 0, we may adopt techniques of complex geometry for example, using parametrized curves to describe tangent vectors. In Chapter 2 we examine such techniques focused on Gauss maps and second fundamental forms, and look some applications.
미분기하학에서 미분다양체를 다루는 가장 중요한 방법 중 하나는 각 점에서 접공간을 규명하여 그 성질을 파악하고, 서로 다른 점들에서 접공간들 사이의 관계를 살펴보는 것이다. 대수기하학은 대수다 양체를 이해하는 여러 가지 다른 대수적 방법들을 제공하지만, 접공간을 이용하게 되면 미분기하학의 지식을 접목할 기회가 되기도 한다. 특히, 대수기하학에서는 대수다양체의 접공간을 대수적으로 정의 하기 때문에, 특이점(singular point) 위에서조차 접공간을 정의할 수 있고, 이를 통해 특이점의 성질을 이해할수있다. 하지만특이점이없는대수다양체는더좋은성질을갖는다는사실을알수있으며, 특히 대수다양체에 특이점이 없는 경우 미분다양체에 대해 증명된 많은 정리가 여전히 성립한다는 사 실도 알 수 있다. 본 논문에서는 대수기하학에 미분기하학의 장점을 접목하기 위해 다양체의 부드러움 (smoothness)를 규명하고 부드러운 다양체들의 성질을 살펴본다. 첫 번째 장에서는 일반적인 대수다양 체의 접공간을 정의하고 미분기하학의 중요한 정리 중 하나인 역함수의 정리를 대수다양체의 경우에 대해 적용해 본다. 특히 지표(charcteristic)가 0인 체에서 정의되는 다양체는 특이점이 없는 경우 일반적 인 복소다양체로 이해할 수 있다(이 사실을 정리 2.3에서 다룬다). 이 사실을 이용하여 두 번째 장에서는, 지표 0인 체에서 정의되는 대수다양체의 성질을 복소기하학의 방법론, 특히 가우스 함수(Gauss map) 와 제 2 기본형식(second fundamental form)을 사용하여 이해하여 보고자 한다.
