Pricing options is the most important problem in the modern financial market. And Monte Carlo Simulation method is one of the most popular method for complex financial options. A Monte Carlo model uses simulation to generate random sample paths for the underlying assets, each of which determines a payoff for the option. And the expectation value for the option can be determined using the average of these payoffs.
However, despite the usefulness of Monte Carlo simulation, it can be quite slow as the size of problem increases. This leads to motivate the research for the variance reduction techniques to increase the efficiency of simulations. The importance sampling is one of the variance reduction techniques, and it also can be applied to the Monte Carlo simulation for path-dependent options. The stratified sampling is also one of the popular variance reduction techniques, and it can be also a efficient method for option pricing in some cases.
In this paper, the efficiency of pure Monte Carlo methods and Monte Carlo methods with the importance sampling and the stratified sampling is shown for various finantial options. To find the estimator for importance sampling, the first-order condition for optimality is used which is suggested by Glasserman, Heidelberger, and Shahabuddin (1999). And it is also used in selecting stratification directions. The results show the increases of the efficiency for the simulation, and the dramatical variance reduction in some cases.
옵션 가격 결정은 금융 시장에서 매우 중요한 문제이다. 몬테 카를로 방법은 이러한 복잡한 금융 상품의 가격을 결정하는데 가장 널리 쓰이는 방법 중 하나이다.
옵션 가격 결정에서의 몬테 카를로 방법은 주식 가격 경로의 표본들을 무작위로 생성하여, 이것에 의해 결정되는 가격들의 기대값을 옵션 가격으로 결정하게 된다. 하지만 이것은 문제의 크기가 커질수록 소요되는 시간이 매우 많이 증가하게 된다. 따라서 이것을 개선하는 방법 중 하나로 표본 분산을 감소시키는 방법들을 사용하게 되는데, 그 중 대표적인 것이 중요도 추출과 층화 추출이다. 중요도 추출과 층화 추출은 표본 분산을 줄이는 대표적인 방법들로, 옵션 가격을 결정하는 몬테 카를로 방법에 적용할 수 있다.
이 논문에서는 중요도 추출과 층화 추출을 알아보고, 순수한 몬테 카를로 방법과 비교하여 효율을 확인해 본다. 중요도 추출에 이용되는 최선의 추정량(optimal estimator)은 Glasserman, Heidelberger, 그리고 Shahabuddin 이 제시한 일계미분조건을 이용한다. 이 결과를 또한 층화 추출에 이용한다. 이들을 몬테 카를로 방법에 이용하면, 시뮬레이션의 효율을 향상시킬 수 있다. 특히 몇 가지 특수한 경우에서는 표준 분산을 많이 감소시켜 준다.
