The Hilbert scheme $Hilb_P{\mathbb{P}^n}$ is a parameter space whose closed points correspond to subschemes of $\mathbb{P}^n$ with Hilbert polynomial $P$. The Hilbert scheme is very important in studying the deformation theory and the moduli theory. It is the most polular and critical example for these fields. The existence of the Hilbert scheme is proved by Grothendieck. These days, many facts are known about the Hilbert schemes. Especially, the Hilbert scheme of points, whose hilbert polynomial is constant, is studied by many mathematicians. But the structures, e.g. reducedness or irreducibility, of the Hilbert scheme are less known. To observe the structure of the Hilbert scheme, Peeva, Sturmfels, and Maclagan introduced a combinatorial method. Briefly, this method reduces the problem to simpler ones, and counts the actual number of monomials, dimensions and number of components. In this article, we introduce the combinatorial method and show some key facts of hilbert schemes which are arleady known by this method, following the lecture of Maclagan. And we introduce a possibilty of solving the hard problems about structures of the Hilbert schemes.
힐버트 스킴 $Hilb_P{\mathbb{P}^n}$은 이 스킴의 닫힌 점마다 $\mathbb{P}^n$의 subscheme 중에 힐버트 다항식을 공유하는 subscheme 들이 대응되는 스킴이다. 힐버트 스킴은 변형 정리나 모듈라이 정리를 공부할 때 아주 중요하게 사용된다. 힐버트 스킴의 존재성은 그로센딕(Grothendieck)에 의해 밝혀볐다. 그 후에도 힐버트 스킴의 많은 성질들이 밝혀졌고 많은 분야에 사용되었다. 하지만 그 구조는 아직 덜 알려져 있다. 이러한 구조적인 문제를 해결하기 위해 Peeva, Sturmfels, 그리고 Maclagan 등은 조합적인 방법론을 사용했다. 이 논문에서는 Maclagan의 강의 노트를 따라서 조합적인 방법론을 소개하고, 이를 이용해서 잘 알려진 힐버트 스킴의 성질들을 다시 증명해 볼 것이다. 여기에는 힐버트 다항식의 존재성, 힐버트 스킴의 연결성, 곡면 위 점들에 대한 힐버트 스킴의 성질 들이 포함되어 있다. 특히 곡면 위 점들에 대한 힐버트 스킴의 성질을 알아보는데 사용한 방법은 더 복잡한 경우에도 사용이 가능하고, 아직 풀리지 않은 문제들을 해결하는 데에도 도움을 줄 것이다.
