An diagonal implicit harmonic balance method is developed to periodic unsteady flow problems. Diagonal terms of the harmonic source vector are treated implicitly and easily implemented on a diagonalized implicit solver that is very similar to a flow solver. For the general unsteady flow problems, a overset grid technique is implemented on the present method, and the multi-grid performance and solution convergence of the present implicit harmonic balance method are investigated with a 2-D oscillating airfoil and a 3-D wing with pitching motion.
For the validation of accuracy and efficiency of present method, the helicopter rotor flow analysis in hovering and forward flight, and synthetic jet flow problem are applied. Computational results are compared with results from explicit trials and a dual time-stepping method in the time-domain. The present harmonic balance method provides fast and stable convergence characteristics regardless of the number of harmonics. Results show that the present method can largely reduce the computing time for unsteady flow problems, compared to that necessary in the dual time-stepping and explicit harmonic balance methods.
본 연구에서는 비정상 유동 해석 기법으로 주파수 영역 기법인 조화 균형법에 내재적 시간 적분법을 적용하였다. 기존의 주파수 영역 기법들은 외재적 수렴 적분법을 사용하므로 빠른 수렴특성을 보여주지 못했으며 조화 함수의 수가 증가할 경우 고주파수에서 불안정한 수렴성을 나타내었다. 또한 기존에 개발된 내재적 수렴기법이 적용된 주파수 영역 기법들은 비대각 행렬을 포함하는 유속 자코비안 행렬을 고려해야 하며 이에 따르는 메모리 증가와 계산량 증가를 감수해야 하는 문제점이 있다. 게다가 조화 원천항이 포함된 행렬의 역행렬을 격자 크기에 따라 매 시간마다 계산해야 하므로 계산효율성을 저하시키게 되고 복잡한 관계식을 풀어야 하기 때문에 적용하데 어려운 면이 있다.
본 연구에서는 내재적 수준의 수렴안정성을 보장하고 적용하기 쉬운 대각 내재적 조화균형법을 개발하였다. 조화 원천항을 외재적으로 처리하므로 자코비안 행렬의 비대각행렬을 고려하지 않아도 되며 가상 시간에 대한 수렴과정을 ADI 기법을 적용하므로 내재적 기법을 적용할 때 자코비안에 의해 추가적으로 발생하는 메모리 요구량에서도 유리한 면이 있다. 게다가 기존의 비정상 유동 해석자에 쉽게 적용할 수 있는 장점이 있다. 그 이유로는 기존의 비정상 유동 해석자는 격자의 움직임에 대한 경계조건을 포함하고 있으며 가상 시간에 대한 수렴기법이 반영되어져 있기 때문에 경계조건을 그대로 사용 가능하기 때문이다. 점성 유동 해석을 위해서 난류 모델 방정식을 계산할 때 동일하게 대각 내재적 조화 균형법을 적용하였다. 박수형 등[25,32]이 제안한 난류 모델 방정식의 대각화 처리 방법에 조화 원천항이 고려되도록 난류 모델 방정식의 원천항에 추가하였다.
본 연구에서 개발한 대각 내재적 조화 균형법의 성능 검증을 위해서 진동하는 NACA64A010, NACA0012 에어포일과 F-5 wing[30]을 적용하였다. 해석 조건은 AGARD Report 702 실험 데이터[29]를 참고하였으며 점성과 비점성 유동을 고려하였다. 공력 특성에 따라 요구되는 조화 함수의 수를 판별하기 위해서 ESD(Energy Spectrum Density)를 적용하여 양력과 항력, 모멘트에 작용하는 주파수를 분석하였고 수렴 가속화 기법으로 다중 격자 기법을 적용하였다. 기존의 톱니형태의 다중격자 기법에 매 레벨마다 본 연구의 기법을 적용하였으며 빠르게 수렴 가능함을 보여주었다. 또한 조화함수를 증가시켜가며 수렴성을 나타내었는데 기존의 외재적 주파수 영역기법에서 조화함수가 증가할 때 수렴 불안정성이 나타났었지만 본 연구에서는 조화함수의 수와 무관하게 안정적인 수렴성을 보여주었다. 해석 결과를 실험 데이터와 비교하였으며 비정상 시간 영역 기법인 이중시간 전진법을 적용하여 함께 비교하였다. 시간 영역 기법과 비교할 때 동일한 결과를 나타내었으며 실험 데이터와 비교할 때 유사한 결과를 나타내었다.
본 연구에서 개발한 기법을 적용하여 다양한 비정상 문제를 해석하였습니다. 대표적인 비정상 유동 문제인 헬리콥터 로터 유동에 적용하였다. 헬리콥터 로터 블레이드 유동을 해석하기 위해서 2가지 격자계를 적용하였다. 기존의 정렬격자를 이용한 Multi-Block 격자계와 다양한 비정상 유동을 해석할 수 있는 중첩격자계를 적용하였다.
움직임이 있는 비정상 유동을 해석하기 위해서 스프링 상사법과 같은 기법을 적용하여 해석을 수행할 수도 있지만, 대부분의 움직임이 있는 비정상 유동 해법을 위해서 중첩격자계를 적용하므로 본 연구에서도 중첩격자계 기법이 고려된 조화균형법을 개발하여 로터문제에 적용하였다. 또한 로터 블레이드는 공간과 시간에 대해서 주기적인 거동을 보이기 때문에 주기적인 경계조건을 적절히 주어서 해석하면 유리하다. 하지만 비정상 유동의 경우 시간 영역 기법으로 주기적인 경계조건으로 만족할 수 없는 문제점이 있다. 본 연구에서는 푸리에 변환식을 적용해서 주기적인 경계조건을 적용하여 비정상 유동을 효율적으로 해석하였다.
헬리콥터 로터 유동은 제자리 비행과 무양력 전진비행, 블레이드의 움직임이 고려된 전진비행으로 구분하여 해석을 수행하였다. 제자리 비행과 무양력 전진비행은 실험 결과가 많이 있는 Caradonna & Tung의 블레이드를 적용하였으며[38] 블레이드의 움직임이 있는 양력 전진비행은 AH-1G 로터 블레이드를 적용하였다.[39] 다중 Block 격자를 적용하여 AH-1G 전진비행을 수행할 때는 Arc-length 선형 보간법에 의해서 격자를 변형시켜 블레이드의 움직임을 고려하였다. 또한 점성 유동의 해석은 중첩격자계를 적용하여 해석을 수행하였다. 중첩 격자 기법을 이용해서 시간 영역 기법으로 점성 비정상 유동을 해석할 경우 매 시간간격마다 배경격자와 보간을 해야하는데 내부 격자와 외부격자가 많을 경우 즉 점성 유동을 해석할 경우 이러한 보간시간을 무시할 수 없게 된다.[39-41] 하지만 본 연구의 기법에 중첩격자기법을 적용하여 해석을 수행할 경우 조화함수에 대해서 한주기에 해당하는 임의의 시간 간격에 배경격자와 내부 격자 사이에 보간을 한 후 격자정보를 저장하고 이렇게 저장된 격자정보에 의해서 수렴과정으로 넘어가므로 보간시간을 단축시킬 수 있다. 중첩격자계를 적용하여 점성 유동 해석결과를 선행 연구자의 결과 및 실험결과와 비교하여 나타내었으며 유사한 결과를 얻었다.
또한 격자의 움직임에 의한 비정상 유동뿐만 아니라 유동이 주기적으로 변화하는 문제에 대해서도 고려해 보았다. 주로 유동제어에 쓰이는 합성 제트 유동을 수행하였다. 합성 제트 유동은 압전 소자 형태의 격막을 주기적으로 진동시켜 생성된 유동이다. 이 제트 유동은 주기적인 진동에 의해서 생성되며 흡입과 분출의 과정으로 이루어져 있다. 흡입 과정에서는 외부의 유동이 공동 안으로 빨려들어오게 되고 분출과정에서는 빨려들어온 유동을 공동 밖으로 배출하게 되는데 이때, 외부에 정지해있는 유동과 서로 속도차이로 전단층이 생성되며 전단층이 발달하면서 와류가 발생하게 된다. 이러한 주기적인 반복과정을 통해서 와류가 계속해서 생성되며 원방으로 흘러가면서 소멸되는 과정을 반복한다. 합성제트에 의해서 생성된 유동은 난류 유동이며 주기적인 비정상 유동의 특징을 갖고 있다. 본 연구에서는 출구 근처의 풍동시험 결과를 근사하여 분출관에 경계 조건 형태로 적용하여 2차원으로 근사하여 해석을 수행하였으며[44] 실험결과 및 시간영역 기법의 결과와 비교하였다.[43] 또한 저속 비압축성 유동 영역이므로 예조건화 기법이 적용된 조화균형법을 개발하였으며 적용방법은 기존의 방법과 동일하게 외재적으로 조화원천항을 추가하여 내재적 수렴기법을 적용하였다.
