It is known that every nontrivial knot has a quadrisecant. Given a knot, we mark each intersection point of each of its quadrisecants. Replacing each subarc between two nearby marked points with a straight line segment joining them, we obtain a polygonal closed curve which we will call the quadrisecant approximation of the given knot.
We show that for any heptagonal figure eight knot in general position, there are only six quadrisecants, and the resulting quadrisecant approximation has the same knot type.
Furthermore, the resulting quadrisecant approximation has no new quadrisecants other than those of the heptagonal figure eight knot. We also show that for each pair $(p,q)$ of relatively prime integers satisfying $1
삼차원 공간에 놓인 단일폐곡선인 매듭과 서로 다른 네 개의 점에서 만나는 직선을 그 매듭의 사중할선이라고 부른다. 풀리지 않는 매듭은 반드시 사중할선을 가진다는 사실이 Pannwitz 외 여러 수학자에 의하여 밝혀졌다. 그리고 매듭이 유한한 수의 사중할선만 가지는 경우에 있어서 모든 사중할선이 매듭과 만나는 점들을 매듭 위의 순서대로 선분으로 이으면 다각형의 폐곡선을 얻게 되는데 이것을 원래의 매듭의 사중할선근사라고 부른다. 이에 관한 예전의 결과로 육각세잎매듭은 정확히 3개의 사중할선을 가지며 그것의 사중할선근사 또한 세잎매듭이 된다는 사실을 얻었다. 그리고 육각세잎매듭의 사중할선근사가 원래 매듭의 3개의 사중할선 외 다른 사중할선을 가지지 않는다는 사실도 얻었다.
본 논문에서는 일반적인 위치에 놓인 모든 칠각팔자매듭이 정확히 6개의 사중할선을 가지며 그것의 사중할선근사도 팔자매듭이 된다는 사실을 보였다. 또한 위 과정에서 얻어진 칠각팔자매듭의 사중할선근사가 원래 칠각팔자매듭의 6개의 사중할선 외 다른 사중할선을 가지지 않는다는 사실도 보일 수 있었다.
그리고 1
