The Schur algorithm is a numerically efficient method to
solve the one-dimensional (1-D) inverse scattering problem (ISP).
However, the breakdown of the Schur algorithms with noisy
scattering data is very common in the practical 1-D ISP because
the error of the reconstructed reflection coefficient is
accumulated as the Schur algorithm evolves into deeper layers, and
the identification depth of the Schur algorithm is limited by this
error accumulation. In the first part of this thesis, a successive
noise cancelation (SNC) method of the Schur algorithm is proposed
for the continuous 1-D ISP when the scattering data is corrupted
by additive white Gaussian measurement noise. It is shown that the
effective noise of the computed reflection coefficients is locally
nearly layer-by-layer independent and identically distributed with
Gaussian distribution if the reflection coefficient is
sufficiently small or the transmitted probing signal power is
sufficiently large. Based on this statistical properties of the
effective noise of the computed reflection coefficients,
measurement noise of the scattering data is estimated and removed
in a sequential manner by averaging technique with a sliding
window. This denoising feature of the proposed SNC method improves
the identification depth of the conventional Schur algorithm. In
addition, a thresholded Schur algorithm (TSA) is proposed for a
medium which is consisted of discrete sparse reflectors. The
proposed TSA sets the reflection coefficient to zero when the
absolute value of the computed left-propagating wave is smaller
than the threshold value which is determined by the measurement
noise variance. The TSA has smaller false alarms and higher
detectability than the previous thresholding methods. In the
proposed TSA, the optimal threshold value normalized by the
standard deviation is regardless of the reflectivity profile, but
it is difficult to determine the optimal threshold value of the
previous thresholding methods. Furthermore, the false alarm
probability and the detection probability of the proposed SNC can
be easily controlled by the normalized threshold value.
In the second part of this thesis, assuming noise-free scattering
data, the discretization error of the Schur algorithm is
addressed. The Schur algorithm for the 1-D ISP requires to
discretize the continuous medium into discrete reflectors to
reconstruct local reflectivity, and the discretization step of
this discrete model should be sufficiently small for high
accuracy. However, the discretization step cannot be made
arbitrarily small to decrease the discretization error, because
the number of multiplications needed with the Schur algorithm is
proportional to the square of the sampling rate. A numerically
extrapolated Schur algorithm is proposed to resolve this tradeoff
between the numerical accuracy and the computational complexity.
The asymptotic expansion of the Schur algorithm, necessary for the
application of a numerical extrapolation, is derived in powers of
the discretization step. The accuracy of the proposed method is
higher than the conventional Schur algorithm by an order of
magnitude or more, with little computational overhead. To be
specific, the computational efficiency of the proposed method is
achieved through numerical extrapolation, and each addition of the
extrapolation depth improves the order of accuracy by one.
Schur 알고리듬은 수치해석학적으로 효율적으로 일차원 역산란 문제를
풀 수 있다. 하지만 실제 일차원 역산란 문제에서는 산란 데이터에
잡음이 존재하고, 이러한 잡음으로 인하여 Schur 알고리듬은 발산하게
된다. Schur 알고리듬에 의하여 계산된 반사 계수는 산란 데이터의
잡음으로 인하여 오차가 발생하고, 이러한 오차는 Schur 알고리듬이 더
깊이 진행될 수록 누적되기 때문에 식별 깊이에 제한을 받게 된다.
학위 논문의 첫 번째 부분에서는 가산 백색 가우시안 잡음이 있는
연속적인 일차원 역산란 문제를 풀기 위한 Schur 알고리듬의 순차적
잡음 제거 기법을 제안한다. 만약 반사 계수가 충분히 작거나 또는
전달된 계측 신호의 전력이 충분히 크다면 계산된 반사 계수의 실효
잡음은 국소적으로 계층간 독립적인 특성을 보이고 그 분포는 가우시안
임을 증명한다. 이 사실을 기반으로 산란 데이터의 잡음을 이동
윈도우를 이용한 평균 기법을 이용하여 순차적으로 추정하고 제거한다.
제안된 순차적 잡음 제거 기법은 식별 가능 깊이를 크게 향상시킨다.
또한 성긴 이산적 반사면으로 구성되어 있는 매질을 위한 문턱치 Schur
알고리듬을 제안한다. 제안한 방법은 계산된 왼쪽 진행 파의 크기가
잡음의 분산에 의해서 결정되는 문턱치보다 낮으면 반사 계수 값을
강제적으로 0으로 한다. 제안한 방법은 기존의 방법보다 허위 경보
확률이 낮고 검출 확률은 높다. 제안한 방법의 문턱치를 잡음의 표준
편차로 정규화한 값의 최적 값은 매질의 변화에 무관한 반면, 기존의
방법에서는 최적의 문턱치를 결정하기가 매우 어렵다. 제안한 방법의
허위경보 및 검출 확률은 이와 같은 정규화된 문턱치를 이용하여 쉽게
조절할 수 있다.
학위 논문의 두 번째 부분에서는, 잡음이 없는 산란 데이터를
가정하고서 Schur 알고리듬의 이산화 오차에 대하여 고찰한다. Schur
알고리듬은 국부적 반사율을 계산하기 위해서 연속적인 매질을 이산적
반사면으로 이산화하는데, 정확도를 높이기 위해서는 이러한 이산
모델의 이산화 크기를 충분히 작게 해야 한다. 하지만, Schur
알고리듬의 연산 복잡도는 표본화 주파수의 제곱에 비례하므로 이산화
오차를 줄이기 위하여 이산화 크기를 임의로 줄일 수 없다. Schur
알고리듬의 이러한 정확도와 연산 복잡도간의 충돌 문제를 풀기 위하여
수치해석학적 외삽법 기반의 Schur 알고리듬을 제안한다. 외삽법
적용을 위한 Schur 알고리듬의 점근 전개식을 이산화 크기의 멱급수로
유도한다. 제안한 외삽법 기반의 Schur 알고리듬은 매우 작은 연산
복잡도를 추가하여 기존 Schur 알고리듬의 정확도를 크게 향상시킨다.
외삽법 깊이가 1 증가하면, 제안한 외삽법 기반 Schur 알고리듬의
정확도 차수도 1씩 증가한다.
