In this thesis, we discuss an image denoising problem and a parallel algorithm solving elliptic partial differential equations. Image denoising problem can be formulated as a minimization problem. As an admissible space of the minimization problem, we consider the space of functions of bounded variation, BV (Ω) which contains discontinuous functions. The proof of the existence and uniqueness of the minimizer in BV (Ω) is presented in this thesis. To get an approximate solution numerically, we present the half quadratic algorithm, which includes solving an elliptic partial differential equation. Then we propose the FETI-DP (dual-primal finite element tearing and interconnecting) method to implement the algorithm parallelly. The FETI-DP method is a non-overlapping domain decomposition method which is known to be the most scalable dual iterative substructuring method.
본 논문에서는 ROF 영상잡티 제거 모델과 부분영역이 겹치지 않는 영역 분할법인 FETI-DP 방법을 소개하고 있다. 영상의 잡티 제거는 에너지 범함수를 최소화하는 함수를 찾음으로써 이루어질 수 있는데，영상의 불연속성을 보존하기 위해 BV(Ω) 함수 공간에서 해를 찾는다. 함수 공간에서의 해의 존재성과 유일성의 증명이 소개되어 있다.
해를 수치적으로 찾기 위하여 half quadratic 알고리즘을 쓸 수 있다. 이 알고리즘은 고정점 반복 알고리즘의 형태이며，경계값이 주어진 타원형 미분방정식을 반복적으로 풀어 해를 근사한다. r-convergence를 사용하여 이 방법의 수렴성을 보였다.
이 알고리즘을 구현하기 위하여 FETI-DP 방법을 적용할 것을 제안하였다. FETI-DP 방법은 부분영역이 겹치지 않는 영역분할법으로，효율성과 안정성이 검증되어 있다. FETI-DP 방법은 interface node 값들을 분리시킨 후 Lagrange multiplier을 사용하여 연속성을 부과한다. 단부분영역 문제가 유일한해를 가질수 있게 코너 부분의 값은 하나로 고정시킨다.
