By using Klein`s model for hyperbolic geometry, hyperbolic structures on orbifolds or manifolds provide examples of real projective structures. By Andreev`s theorem, many 3-dimensional reflection orbifolds admit a finite volume hyperbolic structure, and such a hyperbolic structure is unique. However, the induced real projective structure on some such 3-orbifolds deforms into a family of real projective structures that are not induced from hyperbolic structures. In this thesis, we find new classes of compact and complete hyperbolic reflection 3-orbifolds with such deformations. We also explain numerical and exact results on projective deformations of some compact hyperbolic cubes and dodecahedra.
쌍곡 기하학의 클라인의 모형으로부터, 오비폴드 또는 다양체 위의 쌍곡 구조는 실사영 구조로 볼수 있다. 또한 앤드리브의 정리를 이용하여 수없이 많은 3-차원 반사 오비폴드에 유한한 부피를 가지는 쌍곡 구조를 줄 수 있다. 그리고 이러한 쌍곡 구조는 유일하다. 하지만, 어떠한 3차원 반사 오비폴트의 경우에는 쌍곡구조로 부터 얻어진 실사영 구조가 쌍곡구조가 아닌 실사영 구조로 변형될수 있다.
이 논문에서, 우리는 이러한 변형이 가능한 새로운 컴팩트 또는 완비한 3차원 반사 오비폴드들의 모임을 찾아냈다. 컴팩트 반사 오비폴드를 만들기 위해서는, 먼저 4보다 큰 자연수를 n이라하고 위아래 면이 $\It{n}$각형인 각기둥을 생각해 보자. 그럼, n각형 면이 포함하는 모서리의 이면각이 모두 60도이고 나머지 이면각은 모두 90도인 3차원 컴팩트 쌍곡 각기등을 만들 수 있다. 또한, 완비한 반사 오비폴드의 경우에는 모든 꼭지점이 무한대 구면에 놓여있고 모든 이면각이 60도인 이상적인 3차원 쌍곡 다면체를 무한히 많이 만들수 있다. 결국, 이렇게 만들어진 다면체들로부터 얻어지는 반사 오비폴드들은 모두 거울에 상대적인 실사영 변형이 가능하다.
또한 어떠한 컴팩트 쌍곡 육면체와 십이면체의 실사영 변형에 대하여 정확하게 대수적인 또는 수치적인 계산 결과를 얻을수 있었다. 좀 더 자세히 이야기하면, 이면각들이 90도 또는 60도인 컴팩트 쌍곡 육면체는 대칭을 고려하여 34개가 존재한다. 이러한 육면체 중 10개는거울에 상대적인 실사영 구조로 변형되며 나머지 24개는 거울에 상대적인 실사영 경직된다. 이번에는, 이면각들이 90도 또는 60도이고 각각의 면이 90도인 이면각을 2개이하로 가지는 컴팩트 쌍곡 십이면체를 생각해 보자. 이러한 조건을 만족하는 십이면체는 대칭을 고려하여 13개가 존재한다. 이 중 유일하게 1개만 거울에 상대적인 실사영 구조로 변형되며 나머지 12개는 거울에 상대적인 실사영 경직됨을 알 수 있었다.
