In this dissertation, an exact beveled offsetting method of triangular mesh is presented. Though the main target application is machining tool path generation, the suggested method can also be applied to other fields such as shelling/hollowing of solid objects, collision avoidance in robot path planning, and so on. Two main steps, constructing a vertex split mesh and event-based mesh offsetting, for obtaining an exact offset triangular mesh which has theoretically no offset error and doesn’t require any post processing to remove interferences are suggested. Beveled offsetting method is also introduced to create fewer gap filling triangles than existing round offsetting method and to support generating a tool path which reduces the number of tool’s intermission.
For the fast construction of beveled offset triangular mesh, simple vertex split operation and a modified version of quadric error metric (QEM) is applied. During the vertex split operation, every sharp edge which has bigger dihedral angle than threshold value given by user is searched and split to insert a virtual face. We can get beveled offset mesh from this simple process. A modified QEM is for robust computation of the offset vertex position which minimizes the sum of squared distance error from the faces around the original mesh vertex. Even though this approach gives us beveled offset mesh, it provides incomplete mesh due to the much interference since we don’t consider offsetting concave edges. And the result mesh has intrinsic offset error while it satisfies the user’s requirement.
As a first step for obtaining an exact beveled offset triangular mesh which has no interference, an elaborate algorithm for the construction of vertex split mesh is devised. In this step, we search a vertex including n, more than 3, incident faces and split it into (n-2) vertices in which each of split vertexes has exactly 3 incident faces. To get this vertex split topology, a vertex and its incident faces are inserted into a unit sphere and offset as much as same speed. Each face is shrunken and disappeared finally during offset process so that we take an offset vertex of earlier disappeared face one by one until no face remains. The order of offset vertices let us build the interference-free offset disk in which all split vertices has exactly 3 incident faces. As to how the convex edge is processed in this step, the type of offset mesh is determined in one of 3 offsetting class, mitered, beveled or round.
The second step is to offset the vertex split mesh constructed in the first step based on searching event. While the vertex split mesh offset, a lot of interferences occur due to a few events such as disappearing faces and splitting edges. So we should search all events exactly and update elaborately mesh structure at the every event point. All of events happen when more than 4 faces are met at a single vertex. In this dissertation, all events are classified into 3 types using useful properties of vertex split mesh and the method is suggested for searching them and updating mesh.
The NC machining tool path is generated from beveled offset triangular mesh obtained using suggested method in this dissertation. And the result is compared with two tool paths generated from mitered offset mesh and round offset mesh. In this dissertation, an exact beveled offsetting method of a triangular mesh is presented.
본 논문에서는 정확한 옵셋 삼각망을 얻기 위해 vertex split 메쉬 생성과 이벤트 기반의 메쉬 옵셋이라는 2단계로 구분하여 접근한다. 이론적으로 옵셋 에러가 존재하지 않으며, 간섭 제거를 위해 별도의 후처리 과정이 필요하지 않는 정확한 삼각망 옵셋 방법을 제안한다. 또, 비교적 좋은 품질과 적은 양의 삼각형으로 옵셋 메쉬를 생성하기 위해 beveled 옵셋 방법을 도입한다.
QEM(Quadric error metric)을 이용하여 옵셋 오차가 최소인 옵셋 점들의 위치를 결정하고, vertex split 연산을 통해 일정 각도 이상의 날카로운 convex edge 사이에 가상의 평면 조각을 끼워 넣음으로써 beveled 옵셋 메쉬를 생성한다. Beveled 개념을 적용하여 메쉬를 옵셋할 수 있음을 보이지만, 내재적인 옵셋 오차가 존재하고, 간섭 문제를 고려하지 않으므로 불완전한 옵셋 메쉬를 얻게 된다.
보다 정확한 옵셋 메쉬를 얻고, 간섭 문제를 해결하기 위한 첫 번째 단계로써, vertex split 메쉬를 생성한다. 이 연산 과정에서 3개 이상 n개의 인접 face들을 갖는 점들을 찾아 정확히 3개의 인접 face들만 갖도록 (n - 2)개의 점들로 분리한다. 본 논문은 단위 구(unit sphere) 내에 점과 인접 face들을 집어 넣은 후, 옵셋 시켜 먼저 사라지는 face의 옵셋 점들을 차례로 취하는 이벤트 기반의 제거 알고리즘을 이용한다. 이 단계에서 Convex edge를 어떻게 처리하느냐에 따라 mitered, round 또는 beveled 옵셋 메쉬가 결정된다.
Vertex split 메쉬가 얻어지면, 원하는 옵셋 거리까지 옵셋 하여 최종 옵셋 메쉬를 구한다. 메쉬를 옵셋 하다 보면 메쉬의 face가 사라지거나 edge가 분리되는 등의 사건에 의해 메쉬 내에는 수 많은 간섭이 발생하게 된다. 따라서 메쉬가 옵셋 거리까지 도달하는 동안 메쉬 구조를 변경시키는 모든 이벤트들을 정확하게 탐색하고, 그 지점에서 메쉬를 적절하게 갱신해야 한다. 모든 이벤트는 하나의 점이 4개 이상의 인접 face들을 가질 때 발생한다. 본 논문에서는 vertex split 메쉬가 제공하는 몇 가지 유용한 속성을 이용하여 이벤트들을 정리 및 분류하고, 각 이벤트의 탐색과 갱신 방법을 소개한다.
마지막으로 제안하는 방법으로 생성된 beveled 옵셋 메쉬로부터 공구경로를 생성하여, 기존 옵셋 메쉬로부터 얻은 공구경로와 비교 및 고찰한다.