Process capability analysis is concerned with evaluating the ability of a process to produce products or services that meet specifications. Such an ability is usually measured by process capability indices (PCIs). These PCIs can be classified into potential PCIs and performance PCIs. In this thesis, the so called estimation-error-based (EEB) approach is developed for determining the sample size for a precise estimation of the potential and performance PCIs. In addition, a potential PCI for the case of the multiplicative adjustment of the process mean, a new PCI called $C_{pa}$ is developed for the nominal-the-best quality characteristic, and its statistical properties are investigated.
This thesis first develops the EEB approach for determining the sample size for $C_{p}$, $C_{pk}$, and $C_{pm}$. The EEB approach for $C_{p}$ allows the sample size to be determined without any knowledge of the true value of the unknown parameter. In the case of $C_{pk}$ and $C_{pm}$, additional assumptions on the unknown parameters are required. A specific method for determining these unknown parameters as well as a method for using them to obtain the sample size is presented. In addition, an approximate EEB approach based on the approximate distribution of the estimator of a PCI is developed. The approximate EEB approach provides a closed-form formula for the case of $C_{pk}$ and computationally efficient algorithm for the case of $C_{p}$ and $C_{pm}$.
Secondly, this thesis investigates statistical properties of the natural estimator $C_{pa}$ of $C_{pa}$, and develops the uniformly minimum variance unbiased estimator of $C_{pa}$. In addition, the exact and approximate lower confidence limits of $C_{pa}$ are derived. As an application of the interval estimation of $C_{pa}$, process capability demonstration procedures are developed. Specifically, the exact and approximate methods for determining the minimum sample size and the minimum $C_{pa}$ value that must be obtained are developed given the confidence level and probability of successful demonstration. In addition, a uniformly most powerful test for $C_{pa}$ is developed. The EEB approach is also applied for determining the minimum sample size for $C_{pa}$.
For an evaluation of process capability, determining an appropriate sample size considering the trade-off between statistical efficiency and cost is an important issue. The EEB approach can be used easily for determining the sample size since it is more intuitive and easier to understand than the traditional confidence interval and hypothesis testing approaches. For the case where the multiplicative adjustment of the process mean is valid, it is recommended that the proposed $C_{pa}$ and the corresponding estimation and demonstration methods be used.
공정능력지수란 공정이 관리상태에 있을 때 제품 또는 서비스의 특성치가 규격을 만족할 능력을 나타내는 지수이다. 공정능력지수는 공정 평균을 목표치로 조정한 후의 능력을 나타내는 잠재 공정능력지수와 목표치로부터 벗어난 있는 현 공정의 능력을 반영하는 성능 공정능력지수로 분류된다. 본 논문에서는 특성치의 평균을 목표치로 조정할 때 표준편차가 변화하지 않는 가법조정과 평균에 비례적으로 변화하는 승법조정을 고려하여 잠재 및 성능 공정능력지수에 대한 통계적 추론 방법과 이를 정확히 추정하는데 필요한 최소 시료수를 결정하는 방법을 개발하였다. 아울러, 최소 시료수를 결정하기 위한 기준으로 추정오차가 일정 범위 이내일 확률을 바탕으로 한 소위 estimation-error-based (EEB) approach를 개발하였다.
공정능력지수 $C_{p}$, $C_{pk}$, 그리고 $C_{pm}에 대해 EEB approach를 적용하였다. EEB approach를 이용할 때 모수의 참값에 대한 정보가 부가적으로 필요하다. 현실적으로 모수의 참값을 구하는 것은 불가능하므로 모수의 값 대신 그 범위를 이용하여 최소 시료수를 구하기 위한 방법을 개발하였다. 아울러, 계산의 효율성을 위해 근사 EEB approach를 개발하였으며 특히, $C_{pk}$의 경우 근사 시료수를 구하기 위한 계산식을 유도하였다.
승법조정 하에서 새로운 잠재 공정능력지수 $C_{pa}$를 개발하였으며, 그에 대한 통계적 추론 방법에 관한 연구를 수행하였다. $C_{pa}$의 추정량의 분포를 유도하고 이를 기반으로 $C_{pa}$의 최소분산 불편추정량 및 신뢰구간을 유도하고 가설검정을 위한 절차를 수립하였다.
본 연구에서는 실제 자주 등장하는 승법조정을 따르는 경우에 대해서 새로운 잠재공정능력지수와 그에 대한 통계적 추론 방법을 개발하였다. 또한, 최소 시료수를 결정하기 위한 방법으로 범용적인 EEB approach를 개발하여 이를 가법, 승법조정의 경우에 적용함으로써 기존 방법에 비해 좀 더 완화된 가정하에서 용이하게 시료수를 결정할 수 있음을 보였다. 따라서, 본 논문에서 개발한 방법이 현장에서 제품의 공정능력을 적절하고 효과적으로 평가하는데 기여하리라 기대된다.
