A bounding method of small probability based on the maximum entropy principle with respect to incomplete moment information is proposed. The main task of reliability analysis is to translate the effect of uncertainties on the system performance to a corresponding probability as a measure how much some given design requirements are satisfied in the probabilistic point of view. Several reliability methods are available to calculate the probability of failure such as FORM (first order reliability method), SORM (second order reliability method), MCS (Monte Carlo simulation), and moment methods. The major focus in the literature concentrates on improving the accuracy or efficiency of the reliability methods. The bound of an estimated reliability has less attention. However, knowing the bound of an estimated reliability is important because the exact value is difficult to obtain in most cases and the small probability may be significantly changed depending on the applied method.
Under the assumption that the input random variables follow the Gaussian distributions and the limit state function is a well-behaved concave surface toward the origin, an inequality to bound the probability of failure of FORM has been introduced by Hasofer. It is simple and easy to apply, but the decision of convexity or concaveness of the limit state function is complicated. Even if curvature information of the limit state function is available, the bound is often not narrow enough to have practical value.
The bounds of failure probability of MCS are indicated as the confidence intervals regarding the number of sample size. When the sample size is sufficiently large, the bounds become tight.
Various probability distribution bounding techniques based on the moment can be found in the literature of probability and statistics. The well-known Chebyshev`s inequality provides bounds in terms of mean and standard deviation for the probability. Akhiezer established a generalized inequality to bound distributions based on their finite number of moments. Recently, Racz et al have presented a numerical procedure to implement the work of Akhiezer. However, the existing moment-based bounds are mostly too loose to be practically used for engineering applications. Since they cover all kinds of PDFs (probability density functions) including the discrete ones, the loose bound is the natural trade-off. Discrete PDFs are rare in structural applications. Tighter bounds would be obtained by limiting our attention to only continuous PDFs.
In this thesis, the probability bounding method based on MEP (maximum entropy principle) is introduced for the first time and found to give tight bounds whenever converged. MEP is a versatile tool to infer the least-biased PDF among all candidates and in principle it can accommodate an arbitrary number of moments. Moreover, MEP is a suitable tool for bounding in that it basically produces continuous PDF, which is the exponential function of a linear combination of polynomial basis.
We consider the case of truncating higher moments given the first M moments. When the current given moments convey most of relevant information about the PDF, adding truncated moments may not greatly contribute to the result. Conversely, the result can be sensitive to adoption of the higher moments. Taking into account the influence of all truncated moments is impractical. One obvious choice is to study the consequence of the (M+1)th moment truncation. For conservative design, an upper bound of probability of failure is the main concern and therefore we aim to evaluate it with respect to the possible variations of the truncated moment. First, using the Hankel determinant, we derive the possible range of the next moment which is not given. Second, an optimization formulation is devised to obtain an upper bound of probability of failure.
Formulas of design sensitivity are derived for the probability of failure with respect to the moments of random variables and the limit state function, respectively. The use of an orthogonal polynomial is suggested for improving the numerical stability of MEP. Numerical tests show that our proposed method provides a tighter bound than existing methods in the literature. The upper bound of probability of failure is well obtained for the cases up to the first four given moments, but with more moments a divergence problem can occur.
본 박사 학위 논문은 최대엔트로피 법칙에 기반하여 손상확률의 상한을 정하는 방법을 제시한다. 신뢰도 해석은 시스템 성능에 영향을 미치는 불확실성을 고려하여 얼마나 설계 요구조건이 만족되는지 확률론적 관점에서 살펴보는 것이다. 일,이차 신뢰도법, 몬테카를로 시뮬레이션, 모멘트 방법 등 다양한 신뢰도 방법들이 개발되었지만, 손상확률을 구하기 위한 정확도 및 효율 향상에 주로 연구의 초점이 맞춰졌고, 구해진 신뢰도 결과의 한도를 정하는 문제에 대해서는 많은 관심을 가지지 않았다. 하지만, 많은 경우 손상확률을 정확히 구할 수 없을 뿐만 아니라 신뢰도를 계산하기 위한 데이터는 제한되어 있으므로 대략적인 손상확률의 범위를 제공하는 것이 필요하다. 손상확률이 작은 경우에 서로 다른 신뢰도 방법에 따라 결과에 큰 차이가 날 수 있다. 이 경우 적용된 신뢰도 방법 자체의 신뢰성을 보장할 수 없다. 그러므로, 본 연구가 제시하는 손상확률의 한도 설정은 중요한 의의를 가진다 하겠다.
일차 근사도법에 대해 손상확률의 한도를 정하는 부등식이 제안되었는데, 이 부등식은 다음과 같은 가정을 필요로 한다. 확률변수들이 모두 정규분포를 따라야 하고, 한계상태식이 원점 방향에 대해 오목 함수로 정의되어야 한다. 이 부등식은 간단하고 적용하기 편리하지만, 한계상태식의 오목 및 볼록 판정이 쉽지 않고, 한도가 주어지더라도 그 범위가 충분히 좁지 않아 실제적으로 쓰이기에는 무리가 있다. 몬테카를로 시뮬레이션은 손상확률을 얻기 위해 시행한 샘플의 수를 고려하여 신뢰구간을 표시한다. 샘플의 수가 많으면 많을수록 손상확률의 신뢰구간은 좁아진다.
신뢰도 연구들과는 별개로 전통적인 수학 및 통계 문헌에서 모멘트 정보를 이용하여 확률의 한도를 결정하는 여러 방법론들이 개발되었다. 먼저 Chebyshev 부등식은 평균과 표준편차가 주어지면 확률의 상,하한을 결정할 수 있다. Akhiezer에 의해 2차 이상 임의의 모멘트 정보에 대해서도 확률분포함수의 상,하한을 도출하는 식이 제안되었다. 최근에 이 방법을 수치적으로 구현하는 연구가 소개되었다. 한편, 현재의 모멘트 기반 확률 한도 방법은 그 결과로 나타난 범위가 대부분 너무 넓어 공학적으로 쓰이기에 무리가 있다. 이것은 구조물에서는 좀처럼 보기 힘든 이산확률분포함수와 같은 함수들까지 포함하여 한도를 설정하기 때문이다. 이와 달리 연속확률분포함수만을 고려하도록 하여 손상확률의 한도를 더 좁힐 수 있다. 본 학위 논문에서는 최대엔트로피에 기반한 확률 한도 방법을 처음으로 소개한다. 이 방법은 최적화를 통하여 확률의 한도를 제시하며 수렴하기만 하면 손상확률의 한도가 매우 좁게 주어진다. 최대엔트로피법은 가능한 모든 확률밀도 함수 중에서 가장 편향되지 않은 확률밀도 함수를 추정하는 범용적 도구로 연속적이며 명시적인 확률밀도함수가 구해지므로 본 연구의 목적에 매우 부합한다.
주어진 M 개의 모멘트가 주어졌을 때, 그 이후 차수 모멘트들을 손상확률의 계산에 포함하지 않는 상황을 고려하였다. 만약 현재 주어진 모멘트가 근사하는 확률분포함수에 대한 대부분의 정보를 포함하고 있다면 포함시키지 않았던 고차 모멘트들을 추가하더라도 결과에는 큰 영향을 미치지 않을 것이다. 반대로 생략된 모멘트를 추가함으로써 손상확률이 크게 변할 수도 있다. 고려하지 않은 모든 모멘트를 변수로 삼아 손상확률에 끼치는 기여를 조사하는 것은 매우 힘든 과제이므로 우리는 이후 차수인 M+1 차 모멘트를 생략함으로 생기는 결과를 살펴보았다. 보수적인 설계를 위해서 손상확률의 상한이 더 중요하므로 본 연구에서는 이후 차수 모멘트의 가능한 모든 변동에 대해 최대 손상확률을 찾는 데 초점을 맞추었다. 첫째, 헹켈 조건을 이용하여 M+1차 모멘트의 가용 영역을 결정하였다. 둘째, 이후 차수 모멘트에 대해 손상확률의 상한을 구하기 위한 최적화 수식을 고안하였다.
손상확률과 확률변수의 통계적 모멘트, 손상확률과 한계상태식의 모멘트 간의 설계 민감도 식을 각각 유도하였다. 최대엔트로피 법칙에서 헤시안 행렬의 역행렬을 구할 때 발생하는 수치적 불안정성을 해결하기 위해 직교 다항식과 같은 다른 기저를 사용하는 방법을 살펴보았다. 여러 수치 예제들을 통해 본 학위 논문에서 제안된 방법이 현재의 모멘트 기반 확률 한도 방법들보다 더 좁은 확률한도를 제공해 주는 것을 알 수 있었다. 또한 여러 예제들에 적용해봄으로써 손상확률의 상한은 4, 5차 모멘트가 주어졌을 때까지는 잘 구해지는 것을 볼 수 있었다. 고차의 모멘트가 포함될 때 수렴하지 않는 문제가 해결되어야 할 것으로 보이나 대부분의 공학 문제는 4차 모멘트만으로도 구해지는 것을 생각하면 본 방법이 실제적으로 매우 유용함을 알 수 있다.
