We study an asymptotic analysis of derivative prices when the underlying asset is driven by stochastic volatility model. The classical Black-Scholes model gives the analytic solution of European options price when the underlying asset is a geometric Brownian motion with constant volatility. Many papers suggest that the volatility should be driven by a stochastic process to reflect the market price movement. An empirical analysis of high-frequency index data confirms that volatility is fast mean-reverting to its long-term mean. This motivates an asymptotic analysis of partial differential equation satisfied by derivative prices. In this paper we study a corrected pricing formula and an implied volatility formula. We also produce volatility smile from market data.
블랙-숄즈 이론은 간단한 형태로 유로피언 옵션 가격을 제시하여 학계는 물론이고 실무자에게 많은 관심을 받아왔다. 하지만 실제 옵션 시장을 분석해보면 블랙-숄즈의 가정만으로는 설명할 수 없는 내재변동성 곡선이 확인된다. 그 결과, 옵션의 내재변동성을 설명하기 위한 많은 모델이 제안 되었다.
본 논문은 확률적 변동성 모델을 연구하고 S&P 500 INDEX OPTION 데이타를 통해 내재변동성 곡선을 설명하였다. 확률적 변동성 모델 하에서 무위험 측도를 구하고 유로피안 콜옵션 가격이 만족하는 편미분방정식을 유도하였다. 실험적 연구에 따르면 변동성의 평균회귀율이 틱 데이타에서는 느리지만 오랜 기간 동안 보면 빠르다는 것을 확인할 수 있다. 평균회귀율이 충분히 빠르다는 것을 이용하여 근사적 방법을 통해 옵션 가격 산정 공식을 유도하였다. 그런데 옵션 가격 산정 공식에는 많은 모수가 있어 공식 사용에 어려움이 있다. 하지만 변동성 미소 공식을 이용하면 옵션 가격 산정 공식의 많은 모수를 추정할 필요 없이 시장에서 관찰한 변동성 미소를 통해 옵션가격을 근사 할 수 있다. 변동성 미소 공식을 통한 옵션 가격 산정은 기초 자산 가격과 행사가격 차이가 큰 옵션이나 만기가 가까운 옵션의 경우 잘 맞지 않다는 것을 확인하였다.