In this thesis we mainly focus on the generation of class fields by the singular values of Siegel functions.
Siegel functions are modular functions which have zeros and poles only at the cusps. We investigate basic transformation formulas of Siegel functions and give a criterion to determine whether a product of Siegel functions is integral over $\mathbb{Z}[j]$, where $\It{j}$ is the elliptic modular function.
To accomplish our goal we make a change of variables of an elliptic curve and obtain a new $\It{y}$-coordinate. The $\It{y}$ -coordinate as a function on the complex upper half plane generates a family of modular functions of level $\It{N}\ge3$ which constitute the field of modular functions of level $\It{N}\ge3$ together with the elliptic modular function. These functions in fact are quotients of Siegel functions and play the role of classical Fricke functions.
Based on the Shimura`s reciprocity law which connects the theory of modular function fields and class field theory we construct primitive generators of ray class fields over imaginary quadratic fields by utilizing the singular values of the $\It{y}$ -function. Moreover, the conjugates of high powers of the singular values form normal bases of ray class fields over imaginary quadratic fields. This result simplifies that of Ramachandra who completely settled down the Hilbert 12th problem for the case of construction of class fields of imaginary quadratic fields.
본 학위논문에서는 지겔함수의 특이값을 이용하여 유체를 구성하는 문제를 다룬다.
지겔함수는 첨점에서만 영과 극을 가질 수 있는 보형함수이다. 지겔함수의 기본적인 변형공식을 알아보고, $\It{j}$ 가 타원보형함수일 때 지겔함수들의 곱이 $\mathbb{Z}[j]$ 에서 계수를 가지는 최고차항의 계수가 1인 방정식을 만족할 조건을 찾는다.
유체를 구성하는 목표를 달성하기 위해 우리는 변수변환을 통해 타원곡선의 새로운 $\It{y}$-좌표를 얻는다. 이 $\It{y}$- 좌표는 허수부분이 양수인 반 복소평면에서 정의된 함수들을 만들어 내는데 이것들은 타원보형함수와 함께 레벨이 3 이상인 보형함수체를 구성하게 된다. 사실 그 함수들은 지겔함수들의 적당한 곱들이고 고전적인 프레케 함수의 역할을 하게 된다.
보형함수론과 유체론을 연결시키는 시무라 상호법칙을 바탕으로 $\It{y}$- 함수의 특이값을 이용해 복소이차체상의 유체를 구성한다. 게다가 이 특이값의 적당히 큰 거듭제곱이 유체의 정규기저를 이룬다는 것을 보인다. 이 결과는 힐버트 12 번째 문제의 복소이차체 경우를 완벽하게 해결한 라마찬드라의 결과를 단순화하게 된다.
