Acoustic holography is a method to predict sound field in the region of interest by measuring sound pressure or particle velocity at a plane (hologram plane). In particular, time-domain sound visualization implemented by acoustic holography enables ones to observe the predicted sound field as time goes by. The time domain visualization is useful for showing a sound field generated from sound sources which generate transient or non-stationary sound. For instance, sound from an automotive engine during run-up test or an impact sound from machinery, etc. The time domain visualization using holographic reconstruction usually takes not only several steps but also a great deal of data on time and space to obtain the reconstructed sound pressure field with respect to time. In addition, the sound pressure field often contains much more information than we want to observe.
The sound visualization is frequently used as a means to provide where noise sources are, which is required to deal with noise source. The sound visualization will be useful if it shows only the information we want to see as fast as possible. Various ways to represent the information we want to see can be considered: for instance, pointing the maximum pressure point, drawing intensity flow or energy propagation, etc. The objective of this research is to define a means of representing the information we want to see (where noise sources are and how they radiate) and also to develop a visualization procedure which shows the information as fast as possible using the method.
This leads us to raise two problems associated with the time domain sound visualization. One is processing time issue, and the other is the analysis problem [Y.-H. Kim, “Can we hear the shape of a noise source?” Proceedings of the 18th International Congress on Acoustics, 3357-3370 (2004).]. The former issue is caused by large number of data than we need, which means that we can reduce processing time by leaving only the data we need. The latter issue, meanwhile, addresses how we have to observe and analyze the sound field, and this is associated with the newly-defined way that can provide where the sound sources are and how they radiate from the reconstructed sound field.
These two issues motivated us to introduce temporal envelopes for reducing the number of data and to define spatial envelopes as the means providing us where sources are and how they radiate by envisaging overall variation of sound field. At first, the temporal envelope allows us to reduce the number of data by modulating, low pass filtering, and low-rate sampling with respect to the modulated band of interests. Next, the spatial envelope is considered as a manner simply envisaging where sound sources are and how they radiate grossly. As the temporal envelope displays overall variation of the fast varying signal, the spatial complex envelope also gives the overall variation of spatially fluctuating waves, which is associated with energy propagation into space. It is, nevertheless, noted that envelops of sound field in space have never been examined before. Thus, it is needed to study the spatial complex envelop of sound field as a method that can translate a sound field into the information we want to see.
After investigating the characteristics of the temporal envelope, the spatial envelope is defined along the same line with the temporal one. However, owing to the different feature of the spatial envelope, modulation methods for temporal envelope cannot be directly applied to the spatial envelope. A spatial modulation method to get the spatial envelope is proposed in wavenumber domain, based on the observation of the spatial envelope in space and wavenumber domain and also consideration on the holographic procedure. The spatial modulation is a method to move wavenumber components to where we want to place. It is, therefore, noteworthy that the spatial modulation should be taken into account after holographic propagation process not to mix up the evanescent wave and propagating wave by the spatial modulation, which causes serious degradation on the reconstructed sound field.
By using the proposed method, how much processing time is reduced is examined by comparison of the number of multiplication between the conventional holographic procedure and the modified holographic procedure implemented by both temporal and spatial complex envelopes. Moreover, a criterion for real-time implementation is suggested when a calculation condition is defined. In addition, how well the method find the spatial envelope is verified using monopole and dipole sources by error analysis. Several experiments including computer simulation show that the temporal and spatial envelope make the time domain sound visualization efficient by reducing calculation time and also showing only where sound sources are instead of detail wave fluctuation of the reconstructed sound field.
음향홀로그래피는 측정된 음향정보 (음압 혹은 입자속도)를 이용하여 관심공간내의 예측하고자 하는 지점에서의 음향정보를 예측하는 방법이다. 음향홀로그래피는 그 유래가 되는 Gabor [D. Gabor, “A new microscopic principle,” Nature $\Bf{161}$,777-778 (1948)]의 광학 홀로그래피 (optical holography)에서 정의되는 것처럼, 하나의 주파수에 대해 음장의 예측 과정을 거치게 된다. 주파수 별로 예측된 음장을 역퓨리에 변환을 하여 시간 영역에서 중첩 (superposition)을 하면 예측면에서 시간의 변화에 따른 음장을 관찰할 수 있다. 특히, 과도 음장 (transient sound field) 이나 비정상 상태인 음장 (non-stationary sound field) 을 발생시키는 음원의 시간에 따른 변화를 관찰하기 위해, 음향 홀로그래피를 적용한 시간영역 음장 가시화 방법이 사용되고 있다. 이러한 시간영역 음장 가시화는 예측면에서의 음장을 구하기 위해서 여러 단계의 신호처리 과정 (시간과 공간에 대한 퓨리에 변환 및 전파과정)을 거쳐야 할 뿐만 아니라, 과도음장 혹은 비정상 음장의 시간에 따른 변화를 구하기 위해서 해당 음장을 구성하는 많은 주파수와 그와 연관된 공간 데이터가 필요하게 된다. 또한, 이 주파수 정보들에 의해서 공간에 분포하는 음장은 우리가 필요로 하는 정보보다 많은 정보를 보여주는 경우가 있을 수 있다.
예를 들어, 소음을 줄이는 것이 주요 목적인 소음제어 공학 (noise control engineering)에서 소음을 제어하고자 할 때, 음원 및 경로 제어 (source and path control)를 위한 소음원에 대한 정보 (주파수 분포 및 음원의 위치, 형태 등) 혹은 소음의 주된 에너지 전파가 어떻게 되는지 알려주는 방사패턴 등에 대한 정보가 필요하다. 시간 영역 음장 가시화 방법을 위의 경우에 적용 할 때, 가시화되는 음장이 관심있는 정보 (소음원에 대한 정보 및 방사형태)만을 빠르게 보여 준다면 유용할 것이다. 우리가 원하는 정보는 가시화를 하는 목적에 따라 다를 것이지만, 본 연구에서는 소음제어를 위해 필요한 정보인 음원의 위치 및 방사 패턴에 대해 한정하여 생각해 보고자 한다. 음장에서 소음원 및 방사 패턴에 대한 정보를 표현하는 방법은 여러 가지가 있을 수 있다. 예를 들면, 음압이 가장 큰 부분을 표시하는 방법 혹은 인텐시티 (intensity)의 분포나 음 에너지의 전파를 그리는 방법 등이 있을 수 있다. 본 논문의 목적은 소음원 및 방사 패턴을 표현하는 파라미터 (parameter)에 대해 정의하고, 이 파라미터를 적용하여 가능한 빠른 시간 안에 우리가 원하는 정보를 보여 주는 시간 영역 음장 가시화 방법을 개발하는 것이다.
이러한 목적을 이루기 위해, 해결해야 할 문제로써 연산시간 문제 (processing time issue)와 해석 문제 (analysis problem)를 정의하도록 하겠다. 전자의 문제는 시간영역 음장 가시화를 위해서 필요한 많은 양의 데이터와 관련된 문제이다. 이는 바꿔 말하면, 우리가 필요한 정보가 한정되어 있다면, 그 정보와 관련된 데이터만 남겨 연산 시간을 줄일 수 있음을 말하고 있다. 한편, 후자는 예측된 음장을 어떻게 해석하고 의미있는 정보를 얻을 것인가 하는 것과 관련된 문제이다. 이는 본 논문에서 관심있는 소음원 및 방사패턴을 표현하는 파라미터를 정의하는 것과 관련된 것이다.
이 두 문제를 해결하기 위한 방법으로 시간 포락 (temporal envelope)과 공간 포락 (spatial envelope)을 이용하는 것을 제안하고자 한다. 시간 포락은 측정된 시간 데이터가 가지는 포락을 의미하고, 공간포락은 공간에 분포하는 음장이 가지는 공간상의 포락을 의미한다. 다시 말해, 시간 포락 개념을 적용하여 데이터의 개수를 줄이고, 공간 포락을 우리가 원하는 정보인 소음원이 어디에 있고, 어떻게 방사하는 지에 대한 정보를 제공하는 파라미터로 정의하여 사용하고자 한다. 첫 번째로, 시간포락을 이용하는 방법은 관심 신호가 포락을 가지는 대역신호에 대해서, 해당신호의 빠르게 변하는 성분 보다는 상대적으로 느리게 변하는 포락의 관찰에 관심이 있는 경우에 사용하는 것이다. 이는 아날로그 변조 회로를 이용하여 관심 주파수 대역에 대해 변조 (modulation) 및 저주파 통과 필터를 통과 시킨 신호를 낮은 샘플링율로 샘플링하여 적은 개수의 데이터를 얻는 것을 의미한다. 그리고, 공간포락은 관찰하고자 하는 정보인 소음원의 위치 및 전체적인 에너지 전파 형태를 보여주는 방법을 의미한다. 공간 포락은 포락이라는 용어에서 내포하고 있는 의미에서 예상할 수 있는 것과 같이 (시간포락은 시간에 대해 빠르게 변하는 신호의 전체적인 변화를 보여주는 것), 공간을 전파하는 음장의 에너지 전파와 관련된 음파의 전체적인 변화를 의미한다.
공간포락을 사용하기 위해서는 먼저 정의가 필요하다. 잘 정의되어 있는 시간 포락의 관찰을 통해, 공간 포락을 정의하고 수학적인 유도를 하도록 한다. 공기 중에서 전파하는 음파는 시간에 대한 주파수 (frequency)와 공간에 대한 파수 (wave-number)가 일정한 관계를 가지고 있기 때문에, 공간포락은 시간포락과 같은 맥락에서 정의될 수 있다. 그러나, 공간에 대해서 정의되기 때문에 시간포락과 구별되는 특징 또한 가지고 있다. 시간포락이 가지지 못하는 음원의 공간 정보가 그것인데, 이는 음원들의 분포, 형태, 위치 등을 포함한다. 본 논문에서는 이를 “기하정보(geometric information)” 라고 정의하여 사용하겠다. 시간포락에는 없는 기하정보 때문에, 시간포락을 구하는 방법인 변조 방법을 공간포락에 바로 적용할 수가 없다. 따라서, 공간포락을 구하기 위한 공간 변조 (spatial modulation)방법을 찾아야 한다. 공간 포락의 공간 및 파수 영역에서의 관찰을 통해, 변조시키는 파수 성분과 기하정보가 파수 영역에서 분리가 되므로 파수 영역에서 변조과정이 수행되어야 함을 알아내었다. 다시 말해, 공간 포락을 구하기 위한 변조 방법은 변조에 의해 기하정보가 변하면 안되기 때문에, 파수영역에서의 변조 방법을 제안하고 그 타당성을 검증한다. 또한, 이 공간 변조 방법은 홀로그래피의 전파 과정 후에 수행되어야만 한다. 왜냐하면, 제안된 공간변조 방법은 파수영역에서 파수를 변화시키는 방법인데 (주파수 변조가 주파수를 변화시키 듯이), 전파과정 전에 변조를 시키면 전파하는 성분이 감쇠하는 성분으로 바뀔 수가 있기 때문이다. 이는 홀로그래피를 이용한 음장 재구성 과정에서 잘못된 결과를 줄 수 있다.
그리고, 이 방법을 음향 홀로그래피를 적용한 시간영역 음장 가시화 방법에 적용하여 기존의 방법과 비교하여 연산시간이 단축되는 것을 신호처리 과정에서 필요한 총 곱하기 회수 (Totoal Number of Multiplication, TNM)를 통해 살펴본다. 이에 더하여, 관심 신호가 정해지고 시스템 성능이 주어졌을 때, 시간영역 음장 가시화의 실시간 (real-time) 구현 가능성에 대한 기준을 제시하도록 한다. 또한, 기본 음원인 단극음원과 쌍극음원, 그리고 사각 배플 피스톤을 이용하여 제안한 공간변조 방법에 의해 변조된 음장의 오차 해석을 수행한다. 이에 더해, 시간과 공간 포락이 적용된 시간영역 음장 가시화 방법이 기존의 가시화 방법에 비해서 연산시간과 원하는 정보를 제공하는 측면에서 효과적임을 컴퓨터 시뮬레이션 및 실험을 통해 확인한다.
지금까지 언급된 연구 내용을 구성하는 본 논문의 각 장 별 내용을 좀 더 자세하게 살펴보면 다음과 같다.
1장에서는 연구의 동기와 목적을 정의하고, 목적을 이루기 위해 해결해야 할 문제에 대해서 정의한다. 이 내용은 본 요약문의 내용과 맥락을 같이 한다. 그리고, 본 연구와 관련된 선행 연구들을 복소포락 해석과 시간영역 음장 가시화의 범주로 나뉘어 소개한다.
2장에서는 본 연구의 두 가지 문제 (연산시간 문제와 해석문제)에 대한 해결 방법으로 제안된 시간 포락과 공간포락에 대한 소개 및 정의를 한다. 잘 알려진 시간포락의 간단한 경우에 대해서 살펴보고, 시간 포락을 구하는 변조 방법에 대해서 설명하도록 한다. 그리고, 변조를 하기 위한 아날로그 변조 회로를 소개하고, 해당 회로가 필요로 하는 조건에 대해서 설명한다. 시간포락과 변조 방법에 대한 이해를 바탕으로, 공간포락을 정의하고 공간포락이 시간포락과 구별되어 가지는 특성인 음원의 공간 특성(음원의 위치, 모양, 분포 등)에 대한 정보, “기하정보(geometric information)”,를 수학적으로 정의하고 물리적인 의미를 설명한다.
3장에서는 2장에서 정의된 공간포락의 특성을 공간영역과 파수 영역에서 좀 더 깊이 살펴본다. 공간에 분포하는 가장 단순한 음장이라고 할 수 있는 평면파를 시작으로, 음원의 가장 기본적인 형태인 단극음원 (monopole)과 쌍극음원 (dipole)이 각각 공간영역과 파수 영역에서 수학적으로 정의되는 것을 살펴보고, 다양한 경우의 그림을 이용하여 이해를 하도록 한다. 간단한 경우에 대한 이해를 바탕으로, 음원 방사체로서 간단하지만 일반화된 방사체의 기본이 되는 배플 피스톤에 의해 형성되는 음장이 경우로 주어졌을 때, 공간포락이 공간 영역과 파수 영역에서 어떻게 정의되는 지 살펴본다. 이 음장의 지배방정식은 레일리 적분 방정식 (Rayleigh’s integral equation)이고, 1종과 2종 레일리 적분식은 각각 속도음원과 압력 음원에 의한 방사 음압을 예측하게 해주는 기본 식이 된다. 이들은 음원의 각 지점으로부터 관심공간 내의 지점으로 전파하는 전파자 (propagator)의 형태가 다르므로, 각 적분식에 대한 실제 음장과 그 음장의 공간포락사이의 관계를 이 전파자의 형태에 따라 관찰한다.
4장에서는 3장에서 살펴 본 공간 영역과 파수 영역에서의 공간포락의 특성을 바탕으로, 공간포락을 구하기 위한 공간 변조 방법을 제안한다. 2장에서 살펴 본 것과 같이 공간포락은 시간포락과 같은 선상에서 정의가 되는데, 음파가 공기 중에서 시간 (주기, 주파수)과 공간 (파장, 파수) 사이에 일정한 관계를 가지고 전파하듯이, 공간포락과 시간포락은 서로 연관되어 있다. 그런데, 시간 포락에는 없는 공간포락만이 가지는 특성인, 기하정보로 인해 공간포락을 구하는 공간 변조 방법은 시간 포락을 구하는 변조 방법을 그대로 적용하여 구할 수 없게 된다. 특히, 공간영역에서는 기하정보가 변조시켜야 할 파수성분과 컨볼루션 (convolution)의 관계를 가지고 있어, 기하정보에 영향을 주지않고 변조 시킬 수가 없다. 그러나, 이를 파수 영역에서 살펴보면, 파수 성분과 기하정보가 곱으로 분리되어 기하정보에 상관없이 파수를 변화시킬 수 있게 된다. 이에 착안하여, 파수 영역에서 공간변조 방법을 제안한다. 주어진 음장이 가지는 파수를 변화시키는 변조자 (modulator)를 정의하게 되는데, 변조를 위한 파수가 파수영역에서 가지는 형태는 레일리 적분방정식의 전파자 (propagator)와 관련되어 있다. 따라서, 1종과 2종의 적분 방정식이 가지는 변조자의 형태는 다를 것이고, 이 두 가지 경우에 대한 변조자를 소개하고 변조 된 결과가 정의된 포락과 같은지 수학적으로 살펴본다. 그리고, 실제 신호처리 과정에서 변조에 의해 발생할 수 있는 공간변조오차 (spatial modulation error)를 정의하고, 이 오차의 발생원인이 변조에 의해 낮은 파수 성분을 가지게 될 때, 파수 해상도 (wavenumber resolution)에 영향을 받게 되어 발생한다는 것을 보인다. 그리고, 이를 해결하기 위한 방법으로 제로 패딩을 제안한다. 제로 패딩에 의해 공간 변조 오차가 개선됨을 위상오차 (phase error)를 도입하여 살펴본다. 위상오차는 일정한 평면에 분포하는 음파의 분포의 유사성에 대한 정보를 주는 오차이다. 이에 더해, 변조에 의해 구해지는 음원의 형태 (모양)의 물리적인 의미를 사각형과 원형 배플 피스톤의 경우에 대한 컴퓨터 시뮬레이션과 하나의 이동 음향 홀로그래피 실험 결과를 통해 살펴본다.
5장에서는 시간포락과 공간포락을 홀로그래피의 음장 재구성 과정에 적용하여, 예측면에서의 공간포락을 구하는 방법을 보여준다. 홀로그래피 과정은 키르히호프-헬름홀츠 적분 방정식 (Kirchhoff-Helmholtz integral equation)을 기반으로 하는데, 이를 신호처리로 구현 할 때, 컨볼루션 적분(convolution integral)을 수치적분을 이용해 구할 수도 있고, 경계 요소법 (boundary element method)을 이용한 임의 형상의 면에서의 행렬 역변환 (matrix inversion)과정을 거쳐 구할 수 도 있다. 그리고, 직교 좌표를 형성하는 면에 대해서 예측하는 방법은 공간과 시간에 대한 퓨리에 변환 (Fourier transform) 및 전파 과정 (propagation process)으로 구현할 수도 있다. 우리의 목적은 예측면에서 우리가 원하는 정보인 음원의 위치 및 방사형태에 대한 정보를 주는 공간 포락을 구하는 것인데, 이는 4장에서 제안한 파수 영역에서 변조과정을 통해 구할 수 있다. 이 때, 공간 변조는 예측면에서의 파수 스펙트럼을 구하는 전파과정을 한 뒤에 수행되어야만 한다. 왜냐하면, 파수를 변화시키는 변조과정을 전파 과정 전에 수행하게 되면, 실제로 전파해야 하는 파수 성분들을 감쇠성분으로 바꾸게 되어 예측면에서의 음장을 제대로 구할 수 없기 때문이다. 아울러, 공간포락을 구하는 것은 홀로그래피가 가지는 역문제 및 정규화 과정과는 무관하다. 왜냐하면, 위의 두 문제는 모두 음장의 예측을 위한 전파과정에서 발생하는 문제인데, 포락을 구하는 것은 이 모든 과정을 거치고 얻어진 예측면에서의 음장이 주어졌을 때, 그 음장의 공간포락을 구하는 것이기 때문이다.
6장에서는 공간 변조 방법이 적용된 홀로그래피 과정에서 시간포락을 적용해서 얻어지는 연산시간의 이점에 대해서 설명하고, 실제적인 예를 통해 그 효과가 원래 데이터 개수에 대해 관심있는 대역의 데이터 개수의 비 (ratio)에 관계되어 있음을 확인할 수 있었다. 그리고, 공간포락을 적용하여 예측면에서 음원과 음장 방사형태의 정보를 가시화하는 결과는 실제 예측면의 음장이 가지는 디테일한 음장 변화 없이 공간의 포락을 이용하여 음원의위치를 잘 보여줌을 단극음원을 이용한 간단한 경우의 컴퓨터 시뮬레이션 결과를 통해 살펴보았다. 협대역 신호 뿐만 아니라, 과도 신호를 발생시키는 음원의 경우에도 과도 신호가 발생하는 정확한 시간에 공간포락이 해당 단극음원의 위치를 잘 나타냄을 볼 수 있었다. 그리고, 음원의 위치를 추정하기 위해 사용하는 빔형성 방법과의 비교를 통해, 이 방법을 통해서는 음원의 위치에 대한 정보 뿐만 아니라 빔형성 방법이 할 수 없는 음압을 알 수 있음을 설명한다. 그리고, 움직이는 음원 및 과도음을 발생시키는 음원에 의해 발생하는 음장의 공간포락을 구하는 것을 컴퓨터 모의 실험을 통해 살펴보고, 연산시간 문제와 해석 문제에 있어서 포락을 적용한 음장 가시화 방법이 가지는 장점에 대하여 설명한다.
