In three dimensional case, none of all the known mixed finite elements have an optimal approximation order for the velocity on the hexahedral grids. In this thesis, we give conditions of what is needed for an optimal approximation order. We next propose and analyze a new family of mixed finite elements for all index $k \geq 0$ on some hexahedral grids which provides optimal approximation order for the velocity. The pressure approximation is optimal only when $k=0$. However, it is shown that we can get an optimal approximation order for the pressure $(k \geq 1)$ by a local post-processing technique.
In this thesis, we consider the finite element method for solving electro-magnetics problems. In these methods, the most useful of finite element is a curl conforming element, which have continuous tangential components across adjacent elements. We introduce new curl conforming elements of higher order $(k \geq 1)$ on parallelepiped with less degrees of freedom than the existing ones. This element has smaller number of degrees of freedom than the well known Nedelec spaces, and hence it is efficient in a numerical solution. To prove error estimate for curl conforming finite element methods, we define new divergence conforming elements of higher order $(k \geq 1)$. We apply our new elements to the Maxwell`s equations.
본 연구논문에서는 일반 육면체 격자 위에서 이계 타원형 편미분 방정식을 풀기 위한 새로운 고차원 혼합 유한 요소를 소개한다. 일반적으로 삼차원에서 잘 알려진 혼합 유한 요소 중 속도 변수에 대하여 최적의 근사도를 가지는 것은 없다는 사실이 잘 알려져 있다. 속도 변수에 대해 최적의 근사도를 가지기 위한 조건을 찾고, 이 조건에 잘 맞는 새로운 혼합 유한 요소를 정의한다. 새로운 혼합 요소에 적합한 자유도를 찾고, 이 방법이 유일함을 보인다. 새롭게 정의한 요소를 사용하여 오차 해석을 하면 속도 변수에 대하여서는 최적의 수렴성을 가지지만, 압력 변수에 대하여서는 최적일때 보다 근사도가 하나 떨어지는 것을 알 수 있다. 이는 압력 공간이 충분하게 다항식을 가지고 있지 않기 때문이다. 이를 해결하기 위하여 Stenberge가 제안한 바 있는 post-processing 방법을 도입한다. 그가 제안 방법은 affine 요소에 관한 것이므로 수정된 방법으로 증명한다.
또한 전자기학 문제를 풀기위한 유한 요소법을 소개한다. 유한 요소법에서는 벡터 기저 함수가 중요한 역할을 하고, 이를 사용하여 유한 요소를 구성한다. 가장 많이 사용되는 유한 요소에는 컬 접합 유한 요소와 다이버전스 접합 유한 요소가 있다. 본 연구에서는 기존에 잘 알려진 컬 접합 요소보다 자유도가 적은 새로운 요소를 정의한다. 이 새로운 요소는 기존의 요소 중 자유도가 가장 적은 요소 이므로 수치해를 계산할때 효과적이다. 새로운 컬 접합 요소에 대하여 오차 해석을 하려면 이에 적합한 다이버전스 접합 유한 요소가 필요하다. 이를 위해 새롭게 다이버전스 접합 유한 요소를 정의하고, 이에 맞는 자유도를 찾는다. 새롭게 정의한 두 개의 요소를 전자기학의 대표적인 문제인 맥스웰 방정식에 적용한다.
