We introduce a new covolume method for approximating the stationary Navier-Stokes equations and analyze its convergence. There are two ways to introduce the covolume approximation to the Navier-Stokes equations. One uses the divergence (or conservative) form of Navier-Stokes equations which we call the conservative covolume method, the another uses its original form. Primal and dual grids are used in the covolume method. Test functions are piecewise constant on the dual grid. In the covolume method the momentum equation is integrated over the dual element and the continuity equation over the primal element.
The finite element space for the velocity is the Crouzeix-Raviart space for triangles or nonconforming $P_1$ element consisting of piecewise linear functions and the finite element space for the pressure is the space of piecewise constant functions on the primal elements, whereas the test function space for the velocity consists of certain piecewise constant functions on the dual elements.
An abstract theory based on the results of approximation for branches of nonsingular solutions of nonlinear problems gives us an opportunity to study of the convergence of the covolume method for the Navier-Stokes equations. Efficiency of the proposed method has been tested on a number of test problems. Numerical results using a simple Picard type of iteration for solving the discrete Navier-Stokes equations are provided.
나비어-스톡스 방정식을 풀기 위해 새로운 이산화 방법으로 변형된 유한 영역법을 제안한다. 유한 영역법의 이점은 이산 방정식이 듀얼 파티션에 의해 얻어지는 유한 영역 상에서 질량, 운동량 또는 에너지 보존 법칙에 의해 유도된다는 것이다. 비선형 문제의 비특이 해에 대한 일반적인 결과를 이용하여 나비어-스톡스 방정식을 풀기 위해 사용한 유한 영역법의 수렴성을 증명하였다. 나비어-스톡스 방정식을 풀기 위해 부접합 유한 요소법이나 부접합 유한 영역법을 사용하면 비선형 대수 방정식을 얻게 된다. 이 방정식을 풀기 위하여, Picard 반복법과 선형 방정식용 Uzawa 알고리즘을 사용하였다. 영역법의 효율성을 보이기 위하여 부접합 유한 요소법과 비교하였다. 그 결과 유한 영역법을 사용하는것이 속도 오차를 계산하는데 있어 부접합 유한 요소법 보다 더 좋은 결과를 얻을 수 있음을 알수 있었다. 비록 이산화 방법으로 나비어-스톡스 방정식의 다이버젼스 형식을 사용하였지만, 원래 형식 또한 다른 방법을 유도하는데 사용될 수 있고, 그 결과 역시 비슷함을 알 수 있다.
