In this dissertation, discrete-time queues with negative customers or disasters are addressed. The arrival of a negative customer to a queueing system causes one positive customer to be removed if any customer is present. On the other hand, the arrival of a disaster removes all customers in the system. The discrete-time Geo/Geo/1 queue, which has either negative customers or disasters, has recently appeared in the literature. This Geo/Geo/1 queue with this notion is extended into the Geo/G/1 queue and the GI/Geo/1 queue, respectively, in this research.
Using the supplementary variable technique, the stationary queue length distribution of the Geo/G/1 queue with negative customers or disasters is obtained. In addition, for the GI/Geo/1 case, the queue length distribution at an arrival epoch is derived via the embedded Markov chain and the time-average queue length distribution is obtained by level-crossing technique and Semi-Markov process. The stationary sojourn time distributions of both the Geo/G/1 queue and the GI/Geo/1 queue are also presented.
Furthermore, it is illustrated how the results of the discrete-time queue with negative arrivals are converted into those of the continuous-time queue. Numerical examples also show the effect of the parameter, which is the arrival rate of either negative customers or disasters, on these queueing models.
1. 연구배경
1.1. 서버 고장 및 작업 취소가 존재하는 대기행렬 시스템
서비스를 제공하는 서버와 서비스를 요구하는 고객으로 구성된 대기행렬 시스템에서, 고객이 갑작스런 서버의 고장 또는 작업 취소 명령으로 인해 서비스를 제공 받지 못하고 시스템을 이탈하는 경우가 존재한다. 기계 가공 중에 일어날 수 있는 재공품의 파손으로 인한 작업 취소 현상과 서버 고장으로 대기열에 있는 재공품 모두를 폐기해야 하는 상황을 여러 생산시스템에서 가정할 수 있다. 이와 같이, 작업 취소와 서버 고장 현상으로 정상적인 서비스를 받지 못하고 고객(일감)이 시스템을 이탈하는 경우를 각각, negative customer 와 disaster 로 정의한다.
작업 취소의 현상은 다시 두 가지의 경우로 나눌 수 있다. 가공 중에 있는 일감을 폐기 처분하는 경우와 방금 시스템에 도착한 일감을 취소하는 경우로 구분할 수 있다. 반면, 서버 고장 현상에서는 가공 중인 일감을 포함하여 대기열에 있는 일감 모두를 폐기하는 것으로 간주한다. 이러한 서버 고장과 작업 취소의 가정을 대기행렬 모형 분석에 추가함으로써, 보다 현실적인 생산시스템의 성능 척도를 구할 수 있다.
1.2. 이산 시간 대기 행렬
고객의 도착과 이탈이 임의의 시간 중에 발생된다고 가정하는 연속 시간 대기행렬 모형과 달리, 이산 시간 대기행렬에서는 시간 축이 일정 간격의 슬롯 단위로 구분되어, 슬롯 경계에서만 고객의 도착과 이탈이 발생한다. 또한, 하나의 슬롯 안에서 도착과 이탈이 동시에 발생하는 경우, 도착과 이탈의 순서를 어떻게 정하는지에 따라 다시 두 가지의 모형으로 구분된다.
이산 시간 대기행렬은 최근 전산 시스템 또는 통신 시스템이 디지털화 됨에 따라, 일정한 time slot 단위로 패킷(고객)이 도착하고, 처리되는 운영 현상을 보다 근사하게 모형화 할 수 있다. 이에 따라, 최근 들어 이산 시간 대기행렬에 대한 이론 분석과 현실 시스템으로의 응용 연구가 활발히 전개되고 있다.
2. 연구 목적 및 의의
본 연구에서는 서버 고장과 작업 취소가 존재하는 이산 시간 대기행렬 시스템을 분석하여 주요 성능 척도인 임의 시점 고객수 분포와 대기 시간 분포를 유도한다. 이산 시간 대기행렬을 도착 과정이 기하 분포를 따르고 서비스 시간이 일반 분포를 따르는 Geo/G/1 모형과, 일반 도착 과정과 서비스 시간이 기하 분포를 따르는 GI/Geo/1 모형으로 세분화한다. 각각의 이산 시간 대기행렬 시스템에 작업 취소(negative customer) 또는 서버 고장(disaster)의 가정을 추가한다.
따라서 본 연구는 보다 현실적인 가정을 갖는 여러 시스템 운영 환경을 모형화하여 연구 결과의 응용 가능성을 보다 높이려 한다. 이산 시간 단위로 이루어지는 고객의 도착 과정과 서비스 제공 과정을 모형화하였음은 물론, 서비스를 제공 받지 못하고 고객이 이탈하는 현상을 분석의 범위 안으로 가져온다.
3. 연구의 주요 내용
본 연구에서는 여러 경우의 이산 시간 대기행렬 모형에 대한 성능 척도를 적합한 분석 방법을 통하여 유도한다. Geo/G/1 모형의 경우, 고객수 분포의 유도를 위해 부가변수법(supplementary variable technique)을 이용하며, GI/Geo/1 모형에서는 고객 도착 시점의 고객수 분포의 경우 내재점 마코프 체인(embedded Markov Chain) 방법을, 임의 시점 고객수 분포의 경우 레벨횡단법(level crossing technique) 또는 준 마코프 과정(semi-Markov process)을 이용한다. 이를 통해, 주어진 모형에서의 고객수 분포를 체계적인 분석 과정과 함께 완성된 형태(closed-form)로써 제시한다. 또한, 각각의 경우에 따른 임의시점에서의 대기 시간 분포는 물론, 서비스를 제대로 수행받고 이탈한 경우와 작업 취소 또는 서버 고장으로 인해 서비스 완료 전에 이탈한 경우에 대한 조건부 대기 시간 분포까지 유도한다.
그리고, 이산 시간 대기행렬의 분석 결과를 연속 시간 대기행렬의 결과로 변환하는 과정을 제시한다. 이는 이산 시간 대기행렬의 분석을 통해 연속 시간 대기행렬 모형의 주요 성능 척도도 구할 수 있음을 보이기 위함이다. 마지막으로, 수치 예제를 통해, 현실 상황에서의 모형의 분석 결과를 어떻게 적용할 수 있는지를 간단히 예시한다.
