Researches for developing superior elements have been performed continuously for a long time, since good elements can guarantee high performance of finite element method. Among those researches, hybrid Trefftz method has been an alternative way to develop good elements. The hybrid Trefftz formulation has various advantages in view of accuracy and robustness due to characteristics of two independent displacement fields and integration scheme. The hybrid Trefftz method requires two independent fields of generalized displacements. One is internal displacement fields satisfying governing differential equations of elasticity, the other is boundary displacement fields with nodal displacements. The former fields enhance accuracy of element and the latter fields make it convenient to combine with other conventional finite element methods. Moreover, all integration process of constructing stiffness matrix is calculated on the boundary line or surface. So, it is possible to use only one unified element formulation for all shapes in same dimension.
In this study, we've tried to develop kinds of accurate and robust elements with the hybrid Trefftz method. First, plane quadrilateral and triangular elements with rotational degrees of freedom were developed. Second, continuum elements which were enhanced by incompatible deformation modes were made. Third, hybrid Trefftz plate elements with high shear deformation modes were developed. As a result, several types of element in all dimensions which were generally used in structural analysis were completed through the hybrid Trefftz formulation. Through various numerical benchmark problems, we tested the performance of the newly proposed elements and compared the results with other good elements.
지금까지 많은 연구자들이 유한요소법의 성능에 직접적인 영향을 미치는 요소의 성능을 향상시키기 위해 다양한 수학적 방법들을 연구하여 왔다. 두 개의 독립적인 변위장을 갖는 하이브리드 트레프츠 정식화 방법은 이러한 연구들 중 하나로써, 정식화의 특성으로 인해 정확성과 강건성 측면에서 여러 가지 장점을 가지고 있다. 두 변위장 중 대상 문제의 지배 방정식을 만족시키는 고차의 내부 변위장은 요소의 정확성을 향상시키며, 격자망 왜곡에도 강건한 특성을 갖도록 한다. 절점의 변위 자유도들로 구성되는 경계 변위장은 영역 전체에서 변위장의 연속성을 만족시키며, 하이브리드 트레프츠 정식화를 통해 계산되는 요소 강성이 전통적인 유한요소방법들과 매끄럽게 연결될 수 있도록 한다. 그리고, 일반적으로 요소 강성을 계산하기 위한 모든 적분 과정이 경계에서만 수행되므로 같은 차원상에서는 절점의 개수에 관계없이 동일한 요소 강성식을 사용할 수 있다는 특징을 가지고 있으며, 같은 요소 강성식을 사용하는 요소들은 모두 성능이 비슷한 수준을 보여주는 것으로 알려져 있다.
본 연구에서는 이와 같은 하이브리드 트레프츠 정식화를 통해 고성능의 요소군을 개발하고자 하였다. 고차의 내부 변위장에 상응하도록 경계 변위장의 표현 차수를 높이는 다양한 방법들을 적용하여, 하이브리드 트레프츠 정식화의 특성이 충분히 발휘되도록 노력하였다. 구체적으로는 회전 자유도를 포함하는 삼각형과 사각형의 평면 요소, 비적합 변위장을 포함하는 연속체 요소로서 사각형 평면 요소와 육면체 입체 요소 그리고 고차 전단 변형을 포함하는 삼각형과 사각형의 평판 요소를 개발하였다. 결론적으로 하이브리드 트레프츠 정식화만으로 일반적인 유한요소해석 과정에 필요로 하는 대표적인 요소들을 모두 개발할 수 있었으며, 이러한 요소들이 우수한 성능을 보여준다는 것을 요소 성능 평가 문제들을 통해 검증하였다.
