Inverse Problem on MREIT is a problem that finding electrical impedance of internal body by internal electrical relation governed by maxwell`s equation. The simplified equations are following.
\begin{displaymath}
\left \{ \begin{array}{ccccc}
-\nabla \cdot (\sigma \nabla u) & = & 0 & \textrm{in} & \Omega \\
-\sigma \nabla u & = & g & \textrm{on} & \partial \Omega
\end{array}, \right.
\end{displaymath}
where $u(\mathbf{x})$ is a electrical potential, $\sigma(\mathbf{x})$ is a electrical conductivity, and $-\sigma \nabla u(:=\mathbf{J})$ is a current density(current passing through unit volume). The objective function is $\sigma(\mathbf{x})$, provided $\mathbf{J}$ or magnetic field density $\mathbf{B}$, particularly only component $B_z$.
This kind of equation actually is very abundant in various modeling, it will not be just a electrical progress to resolve that inverse problem but many equillibrium model or diffusive model. In view of this, It was not a brand new approach to approximate it as a discrete network model[21], there are many instances in area mechanical force balancing, or even in electrical model. So we introduce electrical network approach here in connection with finite difference or integral form of equations, and how it will solve them. This will provide simplified framework in the relation between $\mathbf{J}$, $B_z$, $\sigma$. In the first chapter, we introduce about MREIT, in 2nd chapter, we give a brief history on MREIT problem since 1992. In 3rd chapter, we connect our network approach to the others` research and try to give linearized explanation. In 4th chapter, we report our result of numerical simulation using network approach. We are going to mention that it is very stable to noise and solved very nice and fast way.
MREIT에서 역문제란 다음의 전기적 관계를 이용하여, 인체 내부의 전도도를 복구하려는 것이다.
\begin{displaymath}
\left \{ \begin{array}{ccccc}
-\nabla \cdot (\sigma \nabla u) & = & 0 & \textrm{in} & \Omega \\
-\sigma \nabla u & = & g & \textrm{on} & \partial \Omega
\end{array}, \right.
\end{displaymath}
$u(\mathbf{x})$ 는 포텐셜, $\sigma (\mathbf{x})$ 전도도, 그리고 $-\sigma \nabla u(:=\mathbf{J})$ 는 전류밀도이다. $\mathbf{J}$ 또는 자기장 $\mathbf{B}$ 이 주어져 있을때, 내부의 전도도 $\sigma(\mathbf{x})$를 알고자 한다.
이러한 종류의 식은 다양한 분야의 모델에서 풍부하게 나타난다. 평형상태와 확산현상을 표현하는 식이다. 따라서 위의 역문제를 푸는 것은 전기적 관계에서 전도도문제만을 푸는 것이 아닐 것이다. 이러한 관점에서, 위의 현상을 네트워크 모델로써 근사하려는 것은 전혀 새로운 접근은 아니다. [21] 역학에서의 힘의 평형, 앞서의 전기적 관계 등에서 볼 수 있다. 따라서 우리는 자연스럽게 네트워크 모델을 도입하며, 이것은 연속영역에서 주어지는 미분방정식의 차분법 또는 적분폼으로서 그 근거를 찾을 수 있다. 네트워크 모델은 그동안 많은 MREIT 연구자들이 다루어 온 $\mathbf{J}$, $B_z$, $\sigma$ 사이의 관계를 선형모델로서 설명해준다.
첫번째 장에서는 MREIT 문제를 소개하고, 2장에서는 1992년 이래의 연구가 진행되어온 과정을 살펴본다. 3장에서는 네트워크 모델이 그동안의 연구와 어떤 관계에 있는지를 설명해보고 이의 선형화된 설명을 시도해 본다. 그리고 4장에서는 네트워크 접근법을 시뮬레이션한 결과를 보고하며, 이 방법이 노이즈에 대해 안정성이 있고, 빠르게 풀리는 방법임을 보고한다.