In his paper [5], Hamilton introduced the Ricci flow equation in order to prove that a compact three-manifold admitting a Riemannian metric of positive Ricci curvature is a spherical space form. In case of dimension four, Hamilton showed in [6] that compact four-manifold with positive curvature operator are spherical space form as well. Furthermore, Hamilton conjectured that in all dimensions compact Riemannian manifolds with positive curvature operators must be space forms. In this thesis, we give a survey of a recent resolution of this conjecture by $B\ddot{o} em$ and Wilking in [7] and some applications.
Hamilton이 곡률과 위상의 연구에 Ricci flow라는 새로운 수학적인 방법을 도입한 이후로 그 방법은 현재 리만기하의 연구에 있어 중요한 도구가 되었다. 특히, 그의 논문 [5]에서 양의 Ricci곡률을 가지는 3차원의 리만다양체는 상수의 sectional 곡률의 가지는 metric을 가질 수 있다는 것을 보였고 [6]에서는 양의 곡률연산자를 가지는 4차원의 리만다양체에서도 같을 결론을 얻어냈으며, 임의의 n차원에서도 같은 결과를 얻어낼 수 있음을 추측했다. $B\ddot{o} em$ 과 Wilking은 pinching family라는 방법을 도입함으로서 이 문제를 해결하였고 다시 이 새로운 방법은 리만기하의 연구에 많이 응용되어 왔다. 이 논문에서는 Ricci flow를 소개하고 pinching family에 대해서 자세하게 언급한 후 Hamilton의 추측을 어떻게 풀었는지 볼 것이다.
