The purpose of this thesis is to research the relations between manifolds which admit certain well-behaved actions of the torus and their cohomology rings. If $\textsl{B}$ is a toric manifold and if $\textsl{E}$ is a Whitney sum of complex line bundles over $\textsl{B}$, then the projectivization $\textsl{P(E)}$ of $\textsl{E}$ is again a toric manifold. Starting with $\textsl{B}$ as a point and repeating this construction, we obtain a sequence of complex projective bundles which we call a $\emph{generalized Bott tower}$. In fact, the top manifold in tower, called a $\textit{generalized Bott manifold}$, is indeed a toric manifold and its orbit space can be identified with a product of simplices. The generalized Bott tower is one of the most interesting objects in the present thesis, as well as toric topology.
The first part of this thesis is the study of classifications of toric manifolds via topology. Of special interest is the following problem which is now called the $\textit{cohomological rigidity problem; Are toric manifolds diffeomorphic (or homeomorphic) if their cohomology rings are isomorphic as graded rings}$? In general, a cohomology ring invariant is too weak to determine the topological type. It can be a strong invariant, however, for some specific classes of manifolds. In this thesis, we give partial affirmative solutions to this problem.
The second part is the study of combinatorial polytopes as orbit spaces of toric manifolds. A simple polytope $\textsl{P}$ is $\textit{(toric) cohomologically rigid}$ if its combinatorial structure is determined by the cohomology ring of a quasitoric manifold $\textsl{M}$ over $\textsl{P}$, i.e., there exists a quasitoric manifold $\textsl{M}$ over $\textsl{P}$, and whenever there exists a quasitoric manifold $N$ over another polytope $\textsl{Q}$ with $H^\ast (M) = H^\ast (N)$ there is a combinatorial equivalence $P \approx Q$. Although $H^\ast (M)$ contains some information of $\textsl{P}$, not every simple polytope has this property, but some important polytopes such as simplices or cubes are known to be cohomologically rigid. In the present thesis, we also investigate the cohomological rigidity of polytopes and establish it for several new classes of polytopes including products of simplices.
The last part is the study of quasitoric manifolds which are the spaces of equivariant bundles with quasitoric fibre and base. Note that a generalized Bott manifold is a quasitoric manifold having an equivariant bundle structure. In this thesis, we investigate a new condition which is necessary and sufficient for a quasitoric manifold to be equivalent to a generalized Bott tower in terms of cohomology rings. In addition, we study about the interesting topological invariant, which is called $\textit{a twist number}$, of Bott towers and show that it is determined by their cohomology rings.
이 학위논문은 특별한 토러스 작용이 있는 다양체와 그것들의 코호몰로지환과의 관계에 대해서 연구하였다. $\textsl{B}$ 가 토릭다양체이고 $\textsl{E}$가 $\textsl{B}$ 위에서의 복소선형다발의 Whintey 합일때, 사영공간 $\sl{P(E)}$역시 토릭다양체가 된다. 한 점으로부터 시작하여, 이러한 과정을 반복할 때, 우리는 일련의 복소사영다발들을 배열을 얻는데 이것을 확장된 Bott 탑이라고 부르고, 탑에서의 가장 위에 있는 다양체를 확장된 Bott 다양체라고 부른다. 확장된 Bott 다양체는 $\prod \Delta^{n_i}$ 위에 있는 토릭다양체이다. 이 다양체는 토릭위상수학 분야에서 중요한 연구 대상이고, 역시 이 학위논문에서도 주로 다루어지는 대상 중의 하나이다.
이 논문의 첫번째 부분은 토릭다양체의 위상수학적인 분류에 대한 문제이다. 가장 흥미있는 문제 중의 하나는 cohomological rigidity problem 이라 불리는 것으로써, 두 토릭다양체의 위상동형 혹은 미분동형적인 분류가 코호몰로지환에 의해 분류된다는 문제이다. 일반적으로는 코호몰로지환은 매우 약한 불변값이어서 이 가설은 성립하지 않지만, 토러스 작용이라는 조건때문에 토릭다양체에서는 성립할 가능성도 존재한다. 이 논문에서는 이 가설을 뒷받침하는 예들을 확장된 Bott 탑의 연구를 통해 제시한다.
두번째 부분은 토릭다양체 혹은 유사토릭다양체의 궤도공간에 대한 연구이다. 이들 다양체의 궤도공간은 조합적인 대상인 단순도형과 대응시킬 수 있다. 단순도형 $\textsl{P}$ 가 (toric) cohomologically rigid 하는 것은 그 도형을 궤도공간으로 갖는 다양체 $\textsl{M}$ 이 존재하고, 또다른 다양체 $\textsl{N}$ 이 $\textsl{Q}$ 위에 있을 때, $\textsl{M}$ 과 $\textsl{N}$ 의 코호몰로지환이 환동형이면 $\textsl{P}$ 와 $\textsl{Q}$ 가 조합적으로 동치라는 성질을 만족한다는 것을 의미한다. 비록 $H^\ast (M)$ 이 궤도공간 $\textsl{P}$ 의 정보를 가지고 있지만 모든 $\textsl{P}$가 rigid 하지는 않다. 이 논문에서는 $\prod \Delta^{n_i}$ 를 비롯한 중요한 몇몇의 도형들이 rigid하다는 것을 보인다.
세번째 부분은 equivariant 다발 구조를 가지고 있는 유사토릭다양체에 대한 연구이다. 이런 다양체들의 예로는 바로 확장된 Bott 탑이 있다. 이 논문에서는 유사토릭다양체가 확장된 Bott 탑이 되기 위한 필요충분조건을 코호몰로지환을 통해 제시한다. 또한 Bott 탑이 가지고 있는 꼬임수라는 위상적인 불변값이 코호몰로지환의 계산을 통해 구해질 수 있다는 것을 보인다.
