Let $f^{\lambda}$ be the number of standard Young tableaux of shape $\lambda$. By Robinson-Schensted correspondence we have
$\sum_{\lambda \vdash n} (f^{\lambda})^2 = n!,$ (1)
$\sum_{\lambda \vdash n} f^{\lambda} = t_n,$ (2)
where $t_n$ denotes the number of involutions of length $\textit{n}$.
For a SYT $\textsl{T}$, the sign of $\textsl{T}$ is defined by sign$(\pi)$, where $\pi$ is the permutation obtained by reading $\textsl{T}$ like a book. For example, if $\textsl{T}$ = $\psraise (2,1){\pspicture (0,-2) (3,0) \cell(1,1)[1] \cell(1,2)[2] \cell(1,3)[4] \cell(2,1)[3] \cell(2,2)[5] \endpspicture}$ then sign ($\textsl{T}$) = sign(12435) = -1. The sign-imbalance $I_{\lambda}$ of a partition $\lambda$ is the sum of $\textsl(T)$ for all SYTs $\textsl{T}$ of shape $\lambda$. Stanley suggested interesting sign-imbalance formulas which are sign variations of (1) and (2). The simplest forms are the following:
$\sum_{\lambda \vdash n} (-1)^{v(\lambda)}I_{\lambda}^2 = 0$, (3)
$\sum_{\lambda \vdash n} I_{\lambda} = 2^{{\left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor}}$, (4)
where $v(\lambda)$ denotes the sum of even parts of $\lambda$.
The aim of this thesis is to study variations of (1), (2), (3) and (4)
모양이 $\lambda$ 인 표준 영 타블로의 개수를 $f^{\lambda}$ 라고 하고 $t_n$ 을 {1,2,...,n}의 인볼루션의 개수라고 하자. 그러면 로빈슨-쉔스티드 대응에 의해서 다음과 같은 식을 얻는다.
$\sum_{\lambda \vdash n} (f^{\lambda})^2 = n!$
$\sum_{\lambda \vdash n} f^{\lambda} = t_n$
표준 영 타블로 $\textsl{T}$ 의 부호는 $\textsl{T}$ 를 책을 읽듯이 왼쪽에서 오른쪽으로, 위에서 아래로 읽어서 얻어진 순열의 부호로 정의된다. 스탠리는 $I_{\lambda}$ 을 모양이 $\lambda$ 인 표준 영 타블로들의 부호의 합으로 정의하고 다음과 같은 추측을 했다.
$\sum_{\lambda \vdash n}(-1)^{v(\lambda)} I_{\lambda}^2 = 0$
$\sum_{\lambda \vdash n} I_{\lambda} = 2^{{\left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor}}$
여기서 $v(\lambda)$ 은 $\lambda$ 의 짝수번째 수들의 합이다.
이 논문에서는 위의 네가지 식의 여러가지 변형들을 연구한다.
