For the study about 3-manifolds, N. Dunfield and P. Thurston used trace functions of closed curves on orbifolds. An orbifold is locally modeled on $\mathbb{R}^n$ quotient by some finite group which acts on $\mathbb{R}^n$. An orbifold with an $(\mathbb{RP}^2,PGL(3, \mathbb{R}))$ -structure is called a projective orbifold. A trinion is a 2-orbifold which has a sphere as the underlying space with three cone-points. And this orbifold has $(\mathbb{RP}^2,PGL(3,\mathbb{R}))$ -structures. In this paper, there are some properties of extensions of trace functions to $\mathbb{R}^* \times \mathbb{R}^*$ about five closed curves on trinoins which have a negative Euler characteristic. A trace function of a closed curve on an orbifold is defined through an element of an deformatioin space of $\mathbb{RP}^2$-structures. So, basic definitions for an deformatioin space are introduced. In fact, for the work of N. Dunfield and P. Thurston, we need so many images of extensions of trace functions to $\mathbb{C}^* \times \mathbb{C}^*$.
N. Dunfield 와 P. Thurston은 3차원 다양체에 대한 연구에서 오비폴드 위에서의 폐곡선의 대각합 함수를 이용하였다. 오비폴드란 국소적으로, 유한 군에 대한 $R^n$의 궤도공간과 위상동형인 공간을 말하며, $(\mathbb{RP}^2,PGL(3, \mathbb{R}))$ 구조를 갖고 있는 오비폴드를 실사영 오비폴드라 부른다. 그리고 기초를 이루는 공간이 구이고 세 개의 원뿔점을 갖는 오비폴드를 트리니온이라 부른다. 트리니온은 $(\mathbb{RP}^2,PGL(3, \mathbb{R}))$ 구조를 항상 갖는다. 이 논문에서는 오일러 표수가 음수인 트리이온들 위의 다섯 개의 폐곡선에 대한, 대각합 함수의 $R^* \times R^*$ 로의 확장과 관련된 성질들을 연구하였고, 대각합 함수가 실사영 변형공간의 원소를 통해 정의되기 때문에, 변형공간과 관련된 기본적인 개념들을 다루었다.
