In this paper, we consider the continuous-time M/G/1 queueing system with the randomized control of T-policy. In this queueing system, whenever the busy period ends, the server is turned off and takes multiple vacations whose interval is fixed time T with probability p or stays on and waits for arriving customers with probability 1-p.
For this model, we present a simple method for analyzing the generalized vacation model. Using the decomposition property, we provide the transform of stationary distributions of the system size and waiting time. We also introduce the cost function and determine the optimal combination of (p, T) to minimize the average cost per unit time.
휴가형 대기행렬 시스템 중에서 대표적인 두 가지는 복수휴가 시스템과 단수휴가 시스템이다. 복수휴가 시스템은 다음과 같이 진행된다. 서비스할 고객이 없으면 서버(server)는 시스템을 떠나서 V1 시간 후에 돌아온다. 돌아왔을 때 서비스 할 고객이 없으면 길이 V2의 휴가를 떠난다. 이와 같이 반복하여 휴가에서 돌아왔을 때 한명 이상의 고객이 있으면 바쁜기간(busy period)이 시작된다. 반면에, 단수휴가 시스템은 다음과 같이 진행된다. 서비스할 고객이 없으면 서버는 길이 V의 휴가를 떠난다. 휴가에서 돌아왔을 때 서비스 할 고객이 있으면 바쁜기간이 시작되고, 없으면 기다렸다가 첫 고객의 도착 즉시 바쁜기간이 시작된다.
서버의 재가동 여부를 제어하는 대표적인 서비스정책으로서는 Heyman(1977)에 의해 소개된 T-정책이 있다. T-정책은 복수휴가 시스템에서 휴가의 길이 V1, V2, ... 가 확률변수가 아닌 고정된 T의 값인 경우이다. Heyman(1977)은 -정책을 따르는 M/G/1 대기행렬 시스템(이하 M/G/1/T)의 평균 고객수를 구하고, 비용함수를 통해 단위 시간당 비용을 최소로 하는 최적 T값을 제시하였다.
최근에 Kim and Moon(2006)은 바쁜기간이 끝나면 서버는 p의 확률로 T-정책을 따르거나 q(=1-p)의 확률로 휴가를 떠나지 않고 고객을 기다리는 M/G/1 대기행렬 시스템(이하 (M/G/1/(p, T))의 평균 고객수를 분석하였다. 그리고, 평균 고객수를 제약(constraint)으로 하는 제약문제(constrained problem) 형태의 비용함수를 통해 단위 시간당 비용을 최소로 하는 최적 (p, T) 조합을 제시하였다.
본 논문은 다음과 같이 구성된다. 2절에서 본 연구에 필요한 기본 가정과 기호를 정의한다. M/G/1/(p, T)의 주요 성능 지표를 PGF(probability generating function) 및 LST(Laplace Stieltjes transform)의 변환형태로 표현하고 이에 대한 미분을 통해 평균값을 얻는다. 또한 비용함수를 소개하고 수치예제를 통해 최적 (p, T) 조합을 구한다.
