New evolution equations are derived, based on application of the karmam-Polhausen integral method and the imposition of a velocity profile accounting for inertial effects, rather than the usual parabolic profile, for the analysis of thin liquid film flows with/without condensation. First, the validity and accuracy of the equations without condensation are demonstrated via both a linear and nonlinear stability analysis for the case of flow down an inclined plane, and the solutions obtained are seen to be an improvement over earlier results. In addition, the evolution equations are used to model the case of a thin liquid film flowing down an inclined plane containing a well defined trench topography, with the predicted film profile for Reynolds number greater than zero shown to be in excellent agreement with a recent corresponding finite element solution of the full Navier-Stokes equations taken from the literature.
Using a similar procedure, a new form of the condensation rate is derived from the energy equation using a temperature profile accounting for energy convection effects. From this condensation rate as well as the evolution equations including condensation effect, convenient formulae for the film thickness and the heat transfer rate as a function of Jacob and Prandtl numbers are derived for the laminar condensate film condensation on a vertical plate. The results are in good agreement with the previous similarity solutions of the boundary layer equations. The validity and accuracy of the present approach is also demonstrated via the linear stability analysis of vertical condensate film flow. Finally, the evolution equations are used to model the condensate film flow over topography. The result is seen to follow the analytic solution derived in the present analysis when the inflow and outflow boundaries are approached and has a wave profile similar to that of an isothermal flow case near the topographic region.
사면을 흘러내리는 얇은 액막 유동은 많은 자연현상과 공학적 응용 분야에서 흔히 찾아볼 수 있는 현상이다. 액막의 경우 자유표면을 포함하고 있으므로 주기적인 파동 (periodic wave), 액막의 rupture 등을 포함하는 다양한 거동을 보이며, 코팅 혹은 열 및 물질전달 향상을 위해 공학적으로 이용되고 있다.
이러한 다양한 현상이 주는 흥미로움과 공학적 중요성으로 인해 많은 연구자들에 의해 연구가 수행되어 왔다. 액막의 선형 안정성 해석을 위해 Navier-Stokes 방정식에 근거한 Orr-Sommerfeld 방정식의 해석해 및 수치해를 구하는 연구들이 초기에 진행되었으며, Naiver-Stokes 방정식의 비선형 해석을 통해 액막의 모양 및 거동을 해석하려는 연구들도 수행되었다.
자유표면을 포함하는 문제의 특성으로 인해, 완전한 Navier-Stokes 방정식을 해석하는데 많은 어려움이 존재하게 되어, 많은 연구자들은 보다 단순하면서도 액막의 거동을 정확히 모사할 수 있는 모델 방정식의 개발에 주목해 왔다. Order-of-magnitude 해석을 통해 Navier-Stokes 방정식을 단순화하고 이를 액막의 두께 방향으로 적분하게 되면 지배 방정식이 유량과 액막의 두께에 관한 방정식들로 바뀌게 되며, 이를 통해 얇은 액막의 거동을 해석하려는 시도들이 많이 수행되었다. 적분 경계층 방법 (integral boundary layer approach)라고 불리는 이러한 일련의 절차를 통해 얻어진 단순화된 지배 방정식을 보통 진행 방정식 (evolution equation)이라고 부른다. 진행 방정식을 구하기 위해서는 유동의 흐름 방향의 속도 분포(velocity profile)를 가정하게 되며, 보다 정교한 속도 분포를 가정함으로써 보다 정확한 진행 방정식을 유도할 수 있게 된다. 본 연구에서는 기존에 주로 사용되던 2차의 포물선 속도 분포 (parabolic velocity profile) 대신 보다 정교한 4차의 속도 분포를 유도하고 이를 바탕으로 새로운 진행 방정식을 유도하였다. 이 방정식의 정확성과 타당성 검토를 위해 기존에 존재하는 해석 및 실험 결과와 비교하여 만족할 만한 결과를 도출하였다. 또한 포물선 속도 분포의 한계를 극복하기 위한 다른 연구들의 결과와 비교하여 보다 간단한 형태의 방정식으로 이들 결과와 비슷한 정도의 정확도를 가지는 결과를 도출할 수 있음을 보였다. 또한 주기적파동 (periodic wave)에 대한 비선형 해석을 수행하고 실험과 비교하여 그 정확성을 검증하였다. 마지막으로 바닥이 평평하지 않고 topography를 가지는 유동에 대해서 연구를 수행하여 다양한 레이놀즈 수에 대한 해를 얻었으며, 완전한 Navier-Stokes 방정식에서 얻어진 결과와 비교하여 그 정확성을 검증하였다.
이러한 방법은 응축을 수반하는 액막에 대해서도 적용되었다. 속도 분포와 마찬가지로, 온도 분포에 대해서도 4차의 profile을 도입하여 보다 정확한 condensation rate를 유도하였으며, 이를 이용해 응축 액막의 두께와 열전달에 대한 Sparrow와 Gregg[31]의 수치해석 결과를 적절한 정확도로 재현할 수 있는 편리한 공식을 유도하였다. 또한 유도된 방정식을 이용해 선형 안정성 해석을 수행하여 기존의 Orr-Sommerfeld 방정식의 해석해와 비슷한 결과를 도출하였으며 응축으로 인한 물질전달로 발생되는 액막의 안정화와 불안정화 메커니즘에 대해 명확하게 규명하였다. 앞의 경우와 마찬가지로 topography를 가지는 응축 액막의 비선형 해석을 수행하여 해를 구하였다.