In many image-processing applications the grayscale histogram equalization (GHE) is one of the simplest and most effective techniques for contrast enhancement. Various color histogram equalization (CHE) methods have been proposed to extend GHE for color images. Their performance shows large difference in terms of uniformity and computational time. The marginal (or conditional) CHE applies GHE directly to the marginal histogram of color image. Although these techniques provide fast and efficient algorithms they do not consider the correlation between different bands. In contrast, the multidimensional histogram equalization does not utilize the order information of histogram and can be extended into multi-dimension.
In this thesis a new method called the “histogram diffusion” that extends the GHE method to arbitrary dimensions is proposed. Ranges in a histogram are specified as overlapping bars of uniform heights and variable widths which are proportional to their frequencies. This diagram is called the “vistogram.” As an alternative approach to GHE, the squared error of the vistogram from the uniform distribution is minimized. Bars in the vistogram are approximated by Gaussian functions. It allows to achieve desired smoothness and convexity of the squared error (the uniformity potential). The histogram diffusion principle is formulated as a nonlinear autonomous system of ordinary differential equations (ODEs).
The histogram diffusion method possesses valuable properties including: i) dynamical and numerical stability, and ii) low computational complexity. The smooth and bounded uniformity potential has equilibrium points which guarantee dynamic stability. It bounds the mean squared error of a histogram and the squared error of a vistogram for uniformity at a fixed scale. Gaussian particles diffuse along the convex direction of the uniformity potential function. The continuity of mapping obtained by the histogram diffusion method is proven using Gronwall’s inequality for a system of ODEs. The proximity of Gaussian particles provides the computational complexity in linear time. CHE results of color images showed that the approach is effective.
다양한 영상매체가 발달하면서 흑백영상에서 컬러영상으로의 전환과 함께 흑백 히스토그램 평활화를 컬러 영상으로 확장하려는 여러 가지 시도가 이루어져 왔다. 크게 두 가지 접근방법으로 구분되며, 여러 가지 형태로 산출된 주변 확률분포 또는 조건부 확률분포에 흑백 히스토그램 평활화를 그대로 적용하는 접근방법과 흑백 히스토그램 평활화를 포괄하는 다차원 히스토그램 평활화로 다시 공식화하는 접근방법이 있다. 전자는 비교적 단순하여 효율적인 반면, 히스토그램에 존재하는 색상들의 상관관계를 전체적으로 고려하지 않으므로 히스토그램이 컬러공간에 충분히 펼쳐지지 않을 수 있다. 흑백 히스토그램 평활화의 다차원 확장에 있어서 화소값의 순서(order) 정보를 사용하는 것이 장애요소로 작용한다. 따라서, 후자는 흑백 히스토그램 평활화에 대한 순서 정보를 사용하지 않는 공식화 방법을 제시하고 이를 삼차원으로 확장하는 형태를 띠고 있다. 최근 후자의 접근방법으로 평활화 성능면에서 우수한 컬러 히스토그램 평활화 방법이 제안된 바 있으나, 변환함수가 선형근사에 머물렀으며 계산 복잡도도 비교적 크다.
본 논문에서는 임의의 차원으로 일반화된 히스토그램 평활화 문제를 해결하는 히스토그램 확산이라는 방법을 제안한다. 균일한 높이를 갖는 막대의 너비로 히스토그램의 상대빈도를 표현할 수 있으며, 이를 비스토그램이라고 명명한다. 비스토그램과 균등분포의 제곱오차를 최소화하는 방법으로도 흑백 히스토그램 평활화가 가능하며, 임의의 차원으로 확장이 수월하다. 이때, 제곱오차의 연속성과 볼록성을 확보하기 위하여 비스토그램의 각 막대를 축척 조절이 가능한 가우시안 함수로 근사하면, 결과적으로 비스토그램은 가우시안 혼합으로 근사된다. 따라서, 다차원에서 히스토그램 평활화는 유계 단위상자 내에 산재된 가우시안 질점들이 서로 간의 반발력에 의하여 확산되는 동적 시스템으로 구성된다. 히스토그램 확산은 주어진 히스토그램을 초기 조건으로 가우시안 질점들을 움직여 시스템의 위치 에너지를 최소로 하는 평형점에 도달한다.
히스토그램 확산은 집단 확산 시스템(collective diffusion system)으로서 동적 안정성을 포함하여 수치적인 안정성, 낮은 계산 복잡도 등의 유용한 특성을 확인하였다. 히스토그램 확산은 흑백 히스토그램 평활화의 다차원 확장으로 효율적인 알고리즘을 제공하며, 다양한 실험결과를 통해서 제안된 방법의 유효성을 확인하였다. 특히, 일차원 히스토그램 확산으로 산출된 변환함수는 기존의 흑백 히스토그램 평활화에 의한 것과 거의 동일하며, 오차분석을 통하여 그 평균오차가 1% 내외로 육안으로 분간할 수 없을 정도로 작음을 확인하였다. 컬러 히스토그램 평활화에 있어서 심리시각적인 연구를 통하여 목표분포를 도출함으로써 그 실용성을 배가할 것으로 기대된다.
