A $\emph{leader}$ of a tree $T$ is a vertex which has no smaller descendants in $T$. Gessel and Seo showed that
$\displaystyle\sum_{T \in T_n}u^{(\# of leaders in T)}c^{(degree of 1 in T)} = u P_{n-1}(1,u,cu),$
which is a generalization of Cayley's formula, where $T_n$ is the set of trees on $[n]$ and
$P_n(a,b,c) = c \displaystyle\prod_{i=1}^{n-1}(ia+(n-i)b+c).$
Using a variation of the Pr$\ddot{u}$fer code which is called an $\em{RP-code}$, we give a simple bijective proof of Gessel and Seo's formula.
A car in a parking function is called $\emph{lucky}$ if it succeeds to park in its preferred space. Gessel and Seo also showed that
$\displaystyle\sum_{P \in PF_n} u^{(\# of lucky cars in P)} = P_n(1,u,u),$
but this proof was not combinatorial. We construct the bijection $\varphi$ from forests to parking functions and give a bijective proof of it. We generalize it further using the bijection $\varphi$.
수형도의 $\emph{리더}v$는 수형도 안에서 점 $v$의 후손들이 모두 $v$보다 크다. 게셀과 서승현은 케일리의 공식의 일반화인
$\displaystyle\sum_{T \in T_n}u^{(T에서 리더의 개수)}c^{(T에서 1의 등급)} = u P_{n-1}(1,u,cu)$
을 보였다. 여기서 $T_n$은 n개의 점으로 이루어진 수형도들의 집합이고,
$P_n(a,b,c) = c\displaystyle\prod_{i=1}^{n-1}(ia+(n-i)b+c)$
이다. $\emph{RP-부호}$라고 부르는 프뤼퍼 부호의 변형을 이용하여, 게셀과 서승현의 공식의 간단한 전단사적 증명을 보인다.
주차함수에서 어떤 차가 그 차가 원하는 곳에 주차한다면, 그 차는 $\emph{운 좋다}$고 한다. 게셀과 서승현은
$\displaystyle\sum_{P \in PF_n} u^{(P에서 운 좋은 차의 개수)} = P_n(1,u,u)$
을 보였지만, 이것은 조합론적인 증명은 아니었다. 수형도와 주차함수의 일대일대응 함수 $\varphi$를 만들고, 공식의 전단사적 증명을 보인다. 또한 일대일대응 함수 $\varphi$로 공식을 일반화한다.
