The micro flows through two-dimensional (2D) and three-dimensional (3D) granular and fibrous porous media at various Kundsen numbers are investigated by using the lattice Boltzmann method (LBM). A study on compressibility and rarefaction of three-dimensional (3D) pressure-driven gas microchannel flow is carried out first to see how well the LBM can capture the 2D and 3D slip flow characteristics. The method employs modified particle distribution function and a Knudsen-number-relaxation-time relation without using any ad hoc treatment at the wall for the slip velocity. The effects of the aspect ratio of the channel width to height and the Knudsen number on pressure nonlinearity, slip velocity, and mass flow rate are thoroughly scrutinized. For the granular materials, the results for the medium of rounded inclusions agree well with the existing empirical and numerical correlations between the permeability and the Reynolds number. However, the agreement becomes poor for the medium of sharp-cornered inclusions. A new correlation for the Darcy-Forchheimer drag for various inclusion shapes and arrangements is then proposed, and it is shown that the correlation is applicable to more realistic porous medium that consists of overlapping inclusions or the one made with inclusions of different sizes. For the fibrous materials, the results are in good agreement with existing experimental and numerical data. The effects of rarefaction on the permeability in different porous media are discussed. A correlation between the permeability, the porosity, and the Kundsen number for both granular and fibrous porous media is presented.
Calculations for the effective diffusivity or conductivity through the porous medium are also carried out in a similar fashion for both permeable and non-permeable inclusions. The results are compared with those of other numerical simulations or theoretical results, and found to be quite satisfactory.
다공성 매질에 대한 연구는 그 동안 기초과학 및 공학분야에서 가장 많이 수행되었던 주제 중 하나이다. 특히, 다공성 매질 내의 거시적인 유동 및 열, 물질 전달 특성은 가장 기본적이면서도 실질적인 문제로 다루어져 왔다. 본 논문은 균일하게 분포한 2차원 및 3차원의 개체들로 이루어진 다공성 매질에 대하여 압력강하 및 유효 열, 물질 전달 계수 등을 계산하였다.
다공성 매질을 이루는 개체들로는 2차원 계산에서는 원형과 사각형 단면을 갖는 실린더를, 3차원 계산에서는 구와 정육면체를 이용하였고, 배열 방식으로는 일렬배열과 엇갈림 배열을 사용하였다. 3차원 공간에 원형 실린더를 임의적으로 배치시켜 만든 fiber 형상 또한 계산에 포함되었다. 수치 해석방법으로는, 기존에 널리 사용되어온 Navier-Stokes equation 기반의 코드는 다공성 매질 내의 유동을 해석할 때 좁은 유로로 인한 계산 시간의 지연 및 낮은 수렴성을 나타내므로, 복잡한 형상에 대해 효과적으로 사용될 수 있는 격자 볼츠만 기법(Lattice Boltzmann Method)를 사용하였다. 기존에 수행 되어진 다공성 매질 내의 유동에 관한 연구에서는 continuum flow영역만이 고려되어졌으나, 미세기계가공 기술의 발달로 미세한 크기의 다공성 매질이 사용됨에 따라 slip flow영역에서의 특성 또한 연구될 필요가 있다. 매질 내의 기공 크기가 감소할수록 유체 분자의 평균 자유이동 행정(mean free path)이 대표 기공 크기와 비슷해지고, 연속유체를 가정으로 한 수학적 모델은 더 이상 적용할 수 없게 된다. 본 논문에서는 다공성 매질내의 유동에 대한 연구에 앞서 gas microchannel flow에 대한 해석을 수행하였는데, LBM과 Lee & Lin [34]이 제시한 간단한 벽경계 처리가 2차원 및 3차원 slip flow 현상을 잘 예측할 수 있음을 알 수 있었다. 따라서, 이어지는 다공성 매질에 대한 연구에도 같은 방법을 적용하여 slip flow에서 유동 특성까지 살펴보았다.
다공성 매질 내의 유동에 의한 압력강하는 크게 두 가지로 분류가 되는데, 속도항과 선형적인 비례관계로 나타내지는 Darcy drag에 의한 것과 제곱에 비례하게 되는 Forchheimer drag에 의한 것으로 나누어질 수 있다. 이러한 압력강하를 다공도와 Re_D(Reynolds 수)만을 이용하여 수학적인 모델로 나타내기 위한 많은 실험적, 수치해석적인 노력들이 있었는데, 본 논문에서는 2차원의 원형 실린더가 엇갈리게 배치된 경우에 수치해석을 통하여 제시된 Lee & Yang [11]의 결과와 실험적으로 얻어진 결과들을 토대로 제시된 Ergun [5] 수식을 이용하여 2차원 및 3차원의 결과들을 각각 비교하였다. Lee & Yang 및 Ergun의 수식은 2차원에서 원형실린더나 3차원의 구와 같이 각진 모서리가 없는 경우, 개체의 배치에 상관이 없이 본 연구 결과와 잘 일치함을 알 수 있었으나, 사각형 및 정육면체와 같은 형상의 각진 모서리를 갖는 개체에 대해서는 잘 일치하지 않는 것으로 나타났다. 특히, Ergun의 수식은 제한 범위의 다공도 내에서 행해진 실험결과를 토대로 얻어진 결과이므로, 다공도가 큰 영역에서는 구형의 개체들로 이루어진 다공성 매질이라 하더라도 잘 맞지 않음을 알 수 있었다.
본 논문에서는 Ergun의 수식을 개선한 기존 논문 결과와 본 연구에서 수치해석적으로 구한 3차원 계산 결과들을 이용하여 다공성 매질을 이루는 개체들의 형상이나 배열에 상관없이 압력강하를 예측할 수 있는 새로운 수식을 제시하였다. Slip flow 영역에서는 continuum flow와는 달리 벽면에서 slip 속도가 발생하고 이로 인하여 질량 유량이 점착조건(no-slip condition)으로 얻어진 결과보다 증가하기 때문에, 연속유체 가정에 의한 투수율(permeability)보다 더 높은 값을 가지게 된다. 본 연구결과로부터 slip flow영역에서 투수율이 유체의 희박성을 나타내는 Kn(Knudsen 수)에 거의 선형적으로 증가하고 있음을 알 수 있었고, 같은 다공도를 갖는 3차원 형상에 대해서 그 증가율이 다공성 매질을 이루는 개체의 형상이나 배열에 관계없이 거의 일정함을 알 수 있었다. 따라서, continuum flow 영역에서 수행했던 계산을 slip flow영역까지 확장하여 다공도에 대한 투수율을 계산하였고, 새로운 수식에 Kn의 영향도 첨가하였다. 이로써 다공도와 투수율의 관계를 continuum flow 뿐만 아니라 slip flow 영역까지 예측할 수 있는 관계식을 제시 할 수 있게 되었다. 그러나, 이렇게 제시된 수식은 이상적인 다공성 매질을 가정하였기에, 새로운 수식이 실제 매질의 특성을 얼마나 잘 예측할 수 있을지 알아볼 필요가 있다. 따라서, 보다 실제에 가까운 다공성 매질을 고려하고, 내부 개체들이 서로 겹친 경우와 개체들의 크기 다른 경우에도 비슷한 계산을 수행하여 새로운 수식의 적용 범위를 살펴보았다.
Fiber를 개체로 하는 다공성 매질에 대한 연구도 granular한 개체에서와 같은 방법으로 수행하였다. 임의적으로 배치된 등방성의 원형실린더들로 다공성 매질을 구성하였고, 실린더의 직경은 개체의 부피분율에 따라 2가지로 나누어서 사용하였다. 투수율에 대해서 여러 종류의 fibrous한 다공성 매질에 대한 실험적 결과 및 수치적인 결과와 비교하였는데, 그 모양이나 배열에 차이가 있음에도 잘 일치함을 알 수 있었다. 그러나, 이론적 배경의 수학적 모델과의 비교에서는, 수학적 모델의 한계로 인하여 부피분율이 작은 영역에서만 잘 일치함을 볼 수 있었다. Fibrous한 다공성 매질에 대해서도 granular한 경우와 마찬 가지로 continuum flow 및 slip flow영역에서 다공도와 투수율의 새로운 관계식을 도출하였다.
다공성 매질 내에서의 유효 열, 물질 전달계수를 앞서 언급한 투수율 계산에 사용된 형상에 대하여 계산하여 기존의 수치해석 결과 및 이론적 결과와 비교하였는데, 수치해석결과의 비교에서는 본 연구결과와 기존의 결과가 잘 일치함을 보였다. 이론적 수식들은 3차원의 구형들로 이루어진 다공성 매질을 가정하고 있어 2차원 결과와는 잘 맞지 않았고, 고체와 유체 영역의 물질 전달 계수가 2배 이상 차이나지 않는 경우는 이론적인 수식으로도 형상 및 배열에 상관없이 유효 계수를 잘 예측할 수 있음을 알 수 있었다. 그러나, 그 차이가 커질수록 형상 및 배열에 따라 계산 결과와의 차이도 증가하였다. 고체쪽의 전달 계수가 유체쪽보다 크게되면 내부 개체들이 겹쳐지거나, fiber처럼 각 개체가 입구에서 출구로 연결된 경우, 열 및 물질 전달이 쉽게 일어나므로, 유효 전달 계수가 기존 관계식보다 훨씬 크게 됨을 알 수 있었다. 이러한 경우는 열전달 현상에서 주로 다루어질 수 있는 문제이므로, 다공성 매질 제조 시, 개체의 모양과 배열에 필히 고려되어야 할 사항임을 알 수 있었다.
